ФОРМИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ПОЛЕЙ ,

1. Чтобы промоделировать следующее историческое состояние геометрического предмета, необходимо построить новую ситуацию разрыва в сложившейся мыслительной деятельности. Эмпирический материал подсказывает предположение, что восстановление полей с помощью зерна было

_____________

¹ Действие сопоставления д І должно включать в себя в качестве элемента действие сопоставления д.. _:

² Приведенная схема операций основана на том, что число (0), определяющее количество зерна, фиксирует одновременно величину полей х и у.

³ Одновременно si — это обозначение поля (см.: А. А. Вайман. Шумеро-вавилонская математика, стр. 21—35).

⁴ При трансляции операций и знаний, кроме того, в специальных знаковых образованиях фиксируются: 1) вид самих операций, 2) исходные объекты. Анализ схем (1) и (2) позволяет утверждать, что должны были сформироваться знаковые образования, фиксирующие операции счета, отсчета и объекты х и у. Действительно, уже в ранних египетских текстах мы находим условия задач, содержащие указанные образования, например: «вычисли поле» (фактически определи величину поля), «отсчитай поле» (восстанови поле).

­ Конец страницы 229 ­

¯ Начало страницы 230 ¯

связано с рядом затруднений: очень часто нужно было восстановить поле, не засевая его, или нужно было восстановить поле, а зерна, с помощью которого его можно было восстановить, не было. Таким образом, новая ситуация разрыва возникает в результате разрушения средств деятельности — знаков (0) и (0') и объекта X — зерна. Возникшая ситуация разрыва может быть преодолена, в частности, за счет смены средств в деятельности по восстановлению полей, т. е. замены знака (0') другим знаковым образованием.

Ситуацию, предшествующую разрыву в деятельности, можно изобразить так:

 

 

Функционирование мыслительной деятельности, изображенной в этой блок-схеме, приводит, как мы предположили, к ситуации разрыва.

Сохранение структуры мыслительной деятельности, по нашему второму предположению, происходит в результате смены наполнения блока средств. Наполнение блоков «задача», «объект» и «продукт» закреплено, поскольку стоит та же задача восстановления поля у, равного полю х. Поэтому смена наполнения блока «средства» должна привести к смене наполнения связанного с ним блока «процедура». С другой

­ Конец страницы 230 ­

¯ Начало страницы 231 ¯

стороны, наполнение остальных блоков —«задача», «объект» и «продукт»— также определяет наполнение блока «процедура», а наполнение блока «процедура», в свою очередь,— наполнение блока «средств», поэтому строение наполнения блока «средства» должно определяться строением всех остальных блоков и отношениями между ними. Говори иначе, новые средства, как и прежние, должны выступать эталоном величины земли, но, кроме того, они должны иметь и другие свойства, которые позволяют снять ситуацию разрыва.

В эмпирическом материале мы находим образование, которое могло быть таким средством,— это измерение площади грядами (у древних «гряда», кроме того, мера площади)¹. Гряда обладает свойствами, необходимыми для нового средства: она может служить мерой величины поля (количество гряд в поле, если длина всех гряд примерно одинакова; определяет его величину) и позволяет измерять и восстанавливать поле, не засевая его. Использование гряды в качестве] эталона измерения должно было существенно изменить деятельность по восстановлению и измерению полей: теперь для восстановления поля у, равного по величине полю х, нужно подсчитывать колличество гряд в поле х и затем по этому количеству восстанавливать поле у².

Для построения модели операций, позволяющих измерять и восстанавливать поля с помощью гряд, нужно в модели (Ц заменить элемент X (зерно) на элемент Z (гряды) и элемент Д — на элемент ДІ (операцию, которая позволяет получить в; полях х и у гряды):

Знание, которое должно обеспечить воспроизводство этой системы операций, можно! изобразить в той же схеме (2), где (О')—'сложный знак, включающий в себя число и знак меры площади «гряда».

____________

¹См.. А. А. Взимая. Шумеро-вавилонская математика, стр. 21—24; О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 116—120.

² Можно предположить, что механизм образования этой деятельности был таков: 1) вначале при решении каких-то побочных задач было установлено, что величина засеваемого зерна одинакова для всех Гряд одного поля; 2) полученное знание использовалось для определения количества зерна,.засеянного на всем поле, для этого количество зерна засеянное на одной,гряде, умножали на количество гряд в поле; 3) затем количество зерна, идущее на одну гряду, было заменено одной грядой как мерой величины земли.

­ Конец страницы 231 ­

¯ Начало страницы 232 ¯

 

Такой способ измерения и восстановления полей должен был в некоторых случаях приводить к ошибкам. Например, два поля, имеющие одинаковое количество ґряд, но с разной длиной, по новому способу измерения имели одинаковую величину.

Некоторые факты говорят о том, что ошибки могли быть сняты за счет установления нормы протяженности гряды. На то, что реальный исторический процесс шел именно таким образом, указывает наличие стандартной длины гряды и всех мер площади у вавилонян.;

2. Введение эталонной гряды, в свою очередь, должно автоматически привести к новым затруднениям: разные поля имеют разную длину гряд, поэтому использовать эталонную гряду во многих случаях невозможно.

С эмпирическими фактами хорошо согласуется гипотеза о том, что все эти затруднения были сняты, когда для восстановления и измерения поля стали не только подсчитывать количество гряд в поле х, но и измерять длину каждой гряды (на практике, когда поля были приблизительно прямоугольной формы, измеряли длину лишь одной борозды).

Чтобы построить модель операций, обеспечивающих измерение гряды, разложим процедуру измерения на два процесса: 1) деление гряды на одинаковые части и 2) подсчет количества единиц, образованных при таком делении¹. Тогда измерение и восстановление гряды V можно изобразить так:

____________

¹ Реально оба эти процесса осуществляются одновременно, причем каждый процесс является условием другого. Только в генетическом плане они могли существовать отдельно друг от друга. Так, можно предположить, что деятельность по измерению борозд прошла при формировании два этапа. На первом этапе сначала рядом с бороздой последовательно укладывали столько эталонов длины, чтобы они образовали протяженность, равную протяженности борозды. Затем количество положенных рядом с бороздой эталонов подсчитывали. Полученное число фиксировало дли-

­ Конец страницы 232 ­

¯ Начало страницы 233 ¯

 

Здесь ∆н— деление гряды на одинаковые части; V₁— совокупность одинаковых частей, полученных при таком делении; (О_І) - число, фиксирующее количество частей (эталонов) в гряде; ∆н - построение гряды из нескольких одинаковых частей V₁`; W — восстановленная гряда той же длины, что и гряда V;

Для воспроизводства этой структуры должно было сложиться знание (5):

 

 

где О₁'— сложный знак, включающий в себя число и знак эталона длины (локоть, метр).

Таким образом, в новой процедуре измерения и восстановления полей величина поля должна была характеризоваться двумя сложными знаками: знаком (О'), который состоит из

 

____________

ну борозды. На втором этапе сложился способ измерения, приближающийся к современному: считали, сколько раз эталон уложится вдоль борозды.

­ Конец страницы 233 ­

¯ Начало страницы 234 ¯

знака (О), фиксирующего количество гряд в поле, и знака меры площади «гряда», а также знаком (О₁'), выражающим длину гряды и состоящим из числа (О_І) и знака меры длины¹.

3. Указанный здесь способ измерения и восстановления полей в некоторых случаях должен был опять приводить к затруднениям. Действительно, в древнем земледелии часто приходилось решать задачи на сравнение двух полей по величине. Однако, выражая величину поля с помощью двух чисел (О') и (О₁'), нельзя узнать, какое поле имеет большую величину, а какое — меньшую. Действительно, предположим, имеются два поля, в одном из которых 25 гряд и каждая гряда имеет протяженность 30 шагов, а в другом — 50 гряд протяженностью в 20 шагов. Необходимо определить, какое поле имеет большую величину. Сделать это, сравнивая числа, невозможно: у первого поля большая протязсенность каждой гряды, но, с другой стороны у него меньше гряд. Таким образом, если при, старом методе, измерения полей всегда можно было сравнить два поля по величине, так как величина поля выражалась одним.числом, то с помощью, нового способа это сделать было нельзя. Следовательно, должна была возникнуть ситуация разрыва.

Рассмотрим теперь, каким образом могла быть снята эта ситуация, разрыва.

Два поля, можно сравнить по величине в двух случаях: 1).если они имеют одинаковое число гряд или 2) если длина гряды в одном поле равна длине гряды в другом поле. Следовательно, для сравнения по величине двух полей необходимо эти доля преобразовать в такие, у которых иди одинаковое количество гряд, иди одинаковая длина гряд. Но реально преобразовать поля таким, образом нельзя, так как изменится их величина и конфигурация, В то же время требования земледелия не позволяют изменять ни величину, ни конфигурацию поля. Тогда задача должна стоять так: необходимо преобразовать два поля, чтобы конфигурация и величина поля, не изменялись и в то же время поля имели или одинаковое количество гряд, или одинаковую длину гряд.

При изменении количества гряд величину поля можно сохранить только в том случае, если одновременно во столько же раз изменить в обратном отношении длину гряды. Но в

_______________

¹ На этом этапе формирования «геометрического предмета» не существовало термина и тем более понятия площадь, хотя сложились меры площади, выражавшиеся в специальных терминах.

­ Конец страницы 234 ­

¯ Начало страницы 235 ¯

этом случае изменится конфигурация поля. Однако поля можно преобразовать в подразумеваемом плане, заменив реальное поле знаками (О') и (О₁'). Можно, например, число гряд (О') в поле увеличить или уменьшать в n раз, а число (О₁')— длину гряды, соответственно уменьшить или увеличить во столько же раз. После этого можно сравнить по величине два поля — А и В, отличающиеся теперь или только по длине гряды, или по количеству гряд. Например, чтобы решить приведенную выше задачу, нужно количество гряд в первом поле увеличить в два раза (25x2=50), а длину гряды, соответственно, уменьшить в два раза (30:2= 15). Тогда в обоих полях будет одинаковое количество гряд. Но такое описание решения вавилонских задач возможно дать, если только предположить, что, во-первых, имелось знание: если увеличить или уменьшить число гряд или длину гряды в поле в несколько раз и во столько же раз уменьшить или увеличить длину гряды (число гряд), то величина поля не изменится (или знание, подобное этому), и, во-вторых, что реальное преобразование полей заменялось преобразованием относящихся к ним знаков (чисел).

4. Рассмотрим теперь, каким образом можно сравнить по величине три и большее число полей, различающихся как количеством, так и длиной гряд. Сравнение трех, четырех и более полей можно свести к последовательному сравнению двух полей. Например, пусть даны три поля: первое имеет 5 гряд длиной в 20 шагов, второе — 10 гряд длиной в 15 шагов, третье — 100 гряд длиной в 1 шаг, и их нужно сравнить по величине. Можно, например, представить первое и второе поля как поля с длиной гряды в 1 шаг, тогда количество их гряд нужно, соответственно, увеличить в 20 и в 15 раз. В результате этого преобразования получается, что при длине гряды в 1 шаг в первом и третьем полях: 100 гряд, а во втором — 150, т. е. первое поле и третье имеют одинаковое количество земли, а второе поле в 1,5 paза больше.

Когда необходимо сравнивать много полей (например, в древнем Вавилоне сравнивали 200—300 и более полей¹), to длину средней гряды в полях нужно в плоскости чисел свести к длине самой маленькой гряды.

____________

¹ См.: Г. О. Раздымаха. Физико-математические знания в древнейших рабовладельческих государствах Двуречья по документам хозяйственно отчетности. «Наукові записки», т.^;Х1. Серия физико-математическая. Каменец-Подольский, 1958.

­ Конец страницы 235 ­

¯ Начало страницы 236 ¯

Самая маленькая длина гряды обычно равна единице измерения (одни шаг, яркоть). Многочисленные сравнения большого количества полей должны, привести к тому, что все поля при сравнении нужно рассматривать как такие, у которых длина гряды равна единице изменения.:,

Если наше предположение верно, то сравнение n полей, у которых число гряд а, а длина гряды b, должно было теперь осуществляться так:

Все заданные поля превращали в такие, у которых длина гряды равна 1. Для этого длину; соответствующей гряды b поля і уменьшали в b раз:

 

 

а количество гряд во столько же раз увеличивали:

a₁xb₁—с₁, a₂xb₂=c_?,..., a_nxb_n =с_n

 

В результате размеры тех же полей выражались в следующих числах:

 

 

Обратим внимание, что количество гряд в каждом поле (см. левый столбец) получается за счет умножения длины гряды на количество гряд. Поскольку справа всегда получается число 1, то величина поля выражается только числами в левом столбце, т. е. произведением длины гряды на количество гряд. Можно предположить, что этот факт рано или поздно был осознан древними математиками, и они построили принципиально новый способ измерения полей: сначала измеряли количество гряд и длину средней гряды, а затем вычисляли величину земли в поле, перемножив полученные числа (произведение этих чисел мы обозначили символом с).

Можно представить и дальнейшее обособление деятельности по подсчету величины полей в земледельческом произ-

­ Конец страницы 236 ­

¯ Начало страницы 237 ¯

водстве. Если ширину гряды выбрать за меру длины, та число гряд в поле будет совпадать с числом, выражающим длину стороны поля. Поэтому можно заменить подсчет количества гряд измерением определенной стороны поля с помощью эталона, равного ширине гряды. Следовательно, на этом уровне возможен следующий способ измерения поля: измерение двух взаимно перпендикулярных сторон поля и перемножение полученных чисел.

Эмпирические факты показывают, что с определенного этапа именно таким способом вычисляли величину прямоугольных полей все древние народы.

5. Построим теперь модель системы операций по сравнению величины двух полей, которая основывается на описанном выше способе вычисления величины поля. Пусть необходимо сравнить величину двух полей — Л и В (обозначим поля как х _Ри х_ч). Для этого прежде всего в них нужно выделить с помощью операций 1 и 2 две взаимно перпендикулярные стороны (обозначим их буквами с и d с соответствующими индексами):

 

 

Выделенные стороны нужно измерить: производятся четыре акта измерения, результат каждого фиксируется числом:

 

 

где Δн— деление стороны на столько одинаковых частей, сколько в ней уложится эталонов-длины; (О)— числа, фиксирующие длину соответствующей стороны.

На следующем шаге числа, полученные при измерении

­ Конец страницы 237 ­

¯ Начало страницы 238 ¯

каждой стороны, перемножаются (Δ_λ— операция умножения)¹:

 

 

Числа а и b — на схеме это объекты (О₃) и (О₄) — полученные при умножении, сравниваются между собой.

Результат сопоставления фиксируется в знаковой форме (А); например: «числа а и b одинаковы», «число а в k раз больше (меньше) числа b».

 

 

Затем -результат сравнения (A) не только относится к числам, но и приписывается полям х_p и х_q*. О полях получают знание (А): «поля А и В "Одинаковы» или «поле Ask раз больше (меньше) поля В».

 

 

Воспроизводство описанной здесь системы операций должно привести к фиксации в специальной знаковой форме связи между знаками (О₃) и (О₄) (числами а и Ь) и объектами x_p,x_q (полями). Следовательно, на этом этапе должны появиться специальные знаковые образования

 

____________

¹ Операция Δ_λ не принадлежит ни к операциям конструирования, ни к операциям преобразования; ее можно определить как формальную операцию. В формальной операции исходные и конечные объекты не связаны материально; исходные объекты лишь детернируют вид конечных объектов.

* Приписывание — это наделение объектов свойствами знаков, относящихся к ним.

­ Конец страницы 238 ­

¯ Начало страницы 239 ¯

которые могут фиксировать объекты х (поля) со стороны их величины. Здесь собственно должно появиться такое свойство, как величина поля. Действительно, если на первом этапе число (О), позволяющее восстановить поле х, фиксировало собственно величину засеянного в поле зерна, а на втором этапе числа (О₁) и (О₂) фиксировали количество гряд в поле и их длину, то при сравнении двух полей число (О') относилось уже непосредственно к полю х, минуя отнесение к различным промежуточным эталонам (зерну, мерам длины и площади).

Наконец, заметим, что знаковое образование (О') должно состоять из двух элементов: из числа, фиксирующего произведение сторон поля, и из знаков мер величины поля.

Анализ эмпирического материала позволяет утверждать, что действительно при измерении и восстановлении полей употреблялись такие образования¹.

6. На основе нового способа измерения полей должен сложиться и новый способ их восстановления.

Египетские землемеры (гарпедонавты) при восстановлении полей в качестве основного инструмента использовали веревки с делениями. Это подсказывает строение нового способа восстановления полей.

 

 

Сначала отмеряется длина поля а, и затем перпендикулярно этой длине в обоих ее концах натягиваются две веревки длиной b (b — ширина поля).

При восстановлении таким способом системы прилегающих друг к другу полей, расположенных на большом участке земли неправильной формы, все поля по форме должны разбиться на прямоугольные, четырехугольные, трапециидальные и треугольные. Действительно, если весь участок земли имеет правильную форму (например, прямоуголь-

____________

См.: А. А. Вайман. Шумеро-вавилонская математика, стр. 22—24; О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 116—120.

­ Конец страницы 239 ­

¯ Начало страницы 240 ¯

ную), то все поля, восстановленные на нем с помощью описанного способа, должны были иметь форму прямоугольника. Если же участок земли имеет неправильную форму (например, приближающуюся к трапециидальной или четырехугольной), то при восстановлении системы полей получатся поля двух типов: прямоугольные посередине и четырехугольные (трапециидальные) и треугольные по краям. Археологические раскопки участков с межевыми границами подтверждают сделанные нами здесь предположения. Границы полей у древних народов действительно имели прямоугольную, трапециидальную и треугольную форму².

 

 

Относительно появившихся новых видов полей у древних также должна была встать задача на вычисление их площади. При этом алгоритм вычисления прямоугольных полей уже был получен. Такую ситуацию можно рассматривать как появление в мыслительной деятельности со сложившимися средствами и процедурой нового объекта.

При включении в сложившуюся мыслительную деятельность нового по типу объекта (в данном случае поля новой конфигурации) новый объект нужно отождествить со старым; в данном случае трапециидальное поле отождествляется с прямоугольным. Это позволяет применить к нему соответствующие сложившиеся действия и операции. Для отождествления нового объекта со старым в новом объекте необходимо выделить те характеристики и свойства, которые были выделены в старом объекте. Например, для отождествления трапециидального поля (где а, Ь, с — конкретные числа) с прямоугольным в трапециидальном поле нужно выделить две взаимно перпендикулярные стороны, предназначенные для измерения. Однако, поскольку новый объект отличается от старых, в нем не удается выделить все необходимые для

__________

²_:См.: В. Д. Блаватскии,. Земледелие в античных государствах северного Причерноморья. М., 1953.

­ Конец страницы 240 ­

¯ Начало страницы 241 ¯

отождествления характеристики и свойства. С другой стороны, в новом объекте можно выделить свойства и характеристики, отсутствующие в старых объектах (например, в трапе-

 

 

циидальном поле можно выделить две разные пары взаимно перпендикулярных сторон: с и а, с и b). Тем не менее вначале все эти различия не учитываются, и с новым объектом действуют точно также, как и со старым. Исходя из этого, можно предположить, что вначале величину трапециидального поля получали следующим способом: измеряли любые две взаимно перпендикулярные стороны и полученные числа перемножали: 1) axc=d или 2) bхс=е. В соответствии с величиной d или е ожидали урожай. Однако в первом случае реальный урожай, снятый с трапециидального поля, должен быть больше, а во втором — меньше урожая, «запланированного» в вычислении.

7. Указанное несоответствие между реальным продуктом и планируемым продуктом создает ситуацию разрыва. Рассмотрим, как эти ситуации могут преодолеваться.

Сопоставление реального продукта деятельности и планируемого, т. е. заданного в плоскости знаков, а также объектов деятельности дает возможность изменить старую процедуру деятельности так, чтобы реальный и планируемый продукты совпали. Например, для анализируемого случая результат вычисления будет больше приближаться к истинному, если в качестве второго сомножителя, фиксирующего длину поля, взять величину меньшую, чем b, и большую, чем а.

Для получения подобных выводов необходимо сделать предметом рефлексивного анализа саму процедуру деятельности. Только в этом случае можно получить знания, фиксирующие зависимость между процедурой и продуктом, т. е. знания, на основе которых можно сделать вывод об изменении самой процедуры. Например, для получения указанного

­ Конец страницы 241 ­

¯ Начало страницы 242 ¯

выше вывода необходимы знания следующего типа: «если увеличить один из сомножителей, то увеличится и произведение», «если увеличилось произведение, то увеличится один или оба сомножителя».

Однако недостаточно изменить процедуру деятельности, ориентируясь только на продукты. Необходимо еще связать новую процедуру с новым объектом, т. е. выделить в новом объекте такие новые характеристики и свойства, которые могут детерминировать построение новой процедуры. Например, в данном случае нужно связать новую процедуру по вычислению площади трапеции дальнего поля с формой трапециидального поля. А именно найти в трапециидальном поле сторону, которая была бы меньше стороны b и больше, чем сторона а.

Такую сторону можно сначала получить лишь в подразумеваемом плане, т. е. сконструировать ее в плоскости знаков. Для этого нужно взять число, которое больше числа а и меньше Ь. Наиболее подходящий вариант такого числа — среднее арифметическое чисел а и b: Затем уже сторону с такой длиной можно найти и в реальном объекте, например, отождествить с линией раздела, имеющей длину к. Таким образом, для построения формулы вычисления трапециидального поля в нем нужно выделить добавочные по сравнению с прямоугольным полем характеристики — две параллельные стороны неодинаковой длины. Сам алгоритм вычисления в этом случае приобретает вид

 

 

(«сложи верхнюю и нижнюю ширину. Полученный результат подели пополам и умножь на высоту»).

Таким же способом мог сложиться алгоритм вычисления величины четырехугольного поля, по которому полусумму одних противоположных сторон нужно умножить на полусумму других противоположных сторон.

Рассмотрение эмпирического материала показывает, что именно так и вычисляли величину трапециидального и четырехугольного поля народы древнего Египта, Вавилона и Китая¹.

___________

¹ См.: О Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук. стр. 138—І42, 186—187; Б. Л. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука, стр. 42, 102.

­ Конец страницы 242 ­

¯ Начало страницы 243 ¯

Новые способы вычисления снимают в себе способ вычисления величины прямоугольного поля. Они строятся за счет конструирования в «подразумеваемой» знаковой плоскости особого объекта — объекта-посредника, тождественного, с одной стороны, старому объекту и, с другой — новому. В случае формирования алгоритма вычисления трапециидального поля таким объектом служит прямоугольник с высотой с и длиной Следовательно, включение нового объекта в мыслительную деятельность в данном случае сводится к отождествлению нового объекта с прежним объектом деятельности за счет построения в знаковой плоскости объекта-посредника¹.

8. С помощью подобного же механизма построения новой процедуры деятельности на основе старых процедур можно объяснить и возникновение алгоритмов вычисления треугольных полей. Так, алгоритм вычисления треугольного поля, с прямым углом может быть получен путем распространения на треугольные поля алгоритма вычисления трапециидального поля. Действительно, треугольное прямоугольное поле можно рассмотреть как такое трапециидальное поле с прямым углом, у которого одна длина равна 0 (древние говорили «ничего»).

Отсюда алгоритм вычисления величины прямоугольного треугольного поля.должен быть следующим: полусумму длин, равную половине нижней длины (верхняя равна О— «ничего»), умножить на ширину. Для приведенного рисунка он будет таким: 10 плюс «ничего» разделить на 2 и умножить на 8². Подобным же образом треугольное непрямоугольное

 

______________

¹Главные черты описанного здесь механизма проанализированы в работах И. С. Ладенко «Об отношении эквивалентности и его роль в некоторых процессах мышления», и «О процессах мышления, связанных с установлением отношения эквивалентности». «Доклады АПН РСФСР», 1958, № 1 и 2.

² См.: А. А. Вайман. Шумеро-вавилонская математика, стр. 109; О. Нейгебауэр. Лекций по истории античных математических наук, стр. 138—142, 186—187.

­ Конец страницы 243 ­

¯ Начало страницы 244 ¯

поле может рассматриваться как четырехугольное поле, одна сторона которого равна 0 («ничего»). Поэтому алгоритм вы-

 

 

числения должен быть таким: полусумму двух противоположных сторон (например, умножить на полусумму двух других противоположных сторон, равную половине третьей стороны (четвертая равнаО): В древневавилонских и египетских текстах действительно найдены такие алгоритмы. В дальнейшем термин «ничего» был опущен, так как он не влиял на ход операций, и в результате сложились следующие алгоритмы¹: для прямоугольного треугольного поля — половина длины (основания) умножалась на ширину (высоту); для треугольного непрямоугольного поля — полусумма двух противоположных сторон умножалась на третью сторону².

9. Параллельно с формированием алгоритмов вычисления трапециидальных, четырехугольных и треугольных полей должны были складываться и процедуры восстановления этих полей. Для восстановления полей, заданных четырьмя сторонами, уже недостаточно измерить и затем отмерить две перпендикулярные стороны поля, нужно измерять и отмерять все стороны, образующие поле.

Если нужно восстанавливать одно или два поля, то процедура восстановления не вызывает затруднений. Однако если нужно восстановить большую совокупность прилегающих друг к другу полей правильной и неправильной формы,

___________

¹ См.: О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 139—140.

² Система операций с объектами и знаками, применяющимися в этих алгоритмах, может быть изображена в моделях, аналогичных моделям (7).

­ Конец страницы 244 ­

¯ Начало страницы 245 ¯

то должны возникнуть ситуации разрыва. Действительно, предположим, что при измерении 20 полей разной формы были получены 60 чисел, фиксирующих длины сторон разных полей. После разлива по этим числам необходимо восстановить соприкасающиеся друг с другом поля. При этом нужно так расположить восстановленные поля, чтобы они соприкасались определенными сторонами (только в этом случае на ограниченном участке земли можно было восстановить нужную систему полей). Однако сами числа не могут указать способ расположения полей, а также какие числа, из 60 имеющихся, относятся к той или иной стороне определенного поля.

Эмпирический материал показывает, что возникшая ситуация разрыва была снята, когда при восстановлении полей стали составлять их планы, которые представляли собой рисунки полей; около тех линий на рисунке, которые обозначали стороны поля, записывались числа, выражающие длины этих сторон. Например, для восстановления треугольного поля, основание которого 10, а высота 5, его зарисовывали:

 

 

Если же полей было несколько, они зарисовывались в больших планах с числами, проставленными на сторонах рисунков¹. За счет этого все числа разбивались на группы и определенным образом организовывались: каждый рисунок объединял числа, относящиеся к одному полю, и указывал, к какому элементу поля относится данное число.

Рисунок поля, используемый для восстановления полей, является знаком и выполняет, следовательно, определенные знаковые функции: при восстановлении системы полей он обеспечивает правильную ориентацию поля среди других полей и отнесение чисел к соответствующим сторонам поля. Чтобы выполнять такие функции, рисунок как объект должен обладать и определенными свойствами, схожими с некоторыми свойствами поля: он должен расчленяться на элементы —

____________

¹ См.. О. Нейгебауэр. Лекции по истории античных математических наук, стр. 186.

­ Конец страницы 245 ­

¯ Начало страницы 246 ¯

отрезки, которые можно поставить в соответствие сторонам поля; у него так же, как и у поля, должны быть форма и ориентация (позднее к указанным характеристикам рисунка добавляется еще одна — величина, перенесенная на рисунок с поля). Именно это и определяет тот факт, что ряд действий с рисунком тождественен по определенным параметрам действиям с полем. Знаки с такими свойствами — знаки-модели¹. Их употребление в деятельности применительно к данному случаю можно изобразить в следующей схеме:

 

 

где знак (М)— рисунок поля х Δ — операции с рисунком (расчленение рисунка на элементы, выделение формы и расположения рисунка среди других рисунков на плане); у — восстановленное по рисунку поле, равное по величине полю х.

§ 3. ТРАНСЛЯЦИЯ СЛОЖИВШИХСЯ СПОСОБОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛЕЙ²

Некоторые факты эмпирического материала дают возможность предположить, что рисунки с числами использовались не только для восстановления полей, но также как средства трансляции различных алгоритмов. Например, алгоритм подсчета трапециидального поля фиксировался в следующей знаковой группе (для понимания мы заменили вавилонские термины современными):

_____________

¹ Характеристика знаков-моделей дана в нашей работе «Семиотический анализ знаковых средств математики». В сб.: «Семиотика и восточные языки». М., 1967.

² Положения, составляющие содержание этого параграфа, получены нами с помощью функционального, а не генетического анализа. Данные положения понадобятся в дальнейшем (см. IV раздел), при рассмотрении затруднений, возникших при трансляции способов решений арифметико-геометрических и геометрических задач. Преодоление этих затруднений привело к появлению первых собственно геометрических знаний.

­ Конец страницы 246 ­

¯ Начало страницы 247 ¯

 

Рассмотрим на этом примере, какую функцию при трансляции способи вычисления -выполняли разные знаки-числа, рисунки и геометрические термины¹

Чтобы осуществить трансляцию способа вычисления трапециидального поля, необходимо в специальной Знаковой форме зафиксировать: а) тип и последовательность операций, которые образуют вычисление и б) объекты этих операций — числа, которые необходимо сложить, разделить и умножить. Из приведенного здесь образца ясно, что тип и последовательность операций выражаются в последовательности арифметических терминов «сложи>>, «половина», «умножь». Сложнее фиксируются объекты операций. Объекты операций не могут быть выражены ни числами, ни рисунком, взятыми по отдельности. Например, если необходимо вычислить величину трапециидального поля, размеры сторон которого 4, 6, 8,

____________

₁Способ вычисления отличается от единичного алгоритма тем, что его можно использовать при решении подобных же задач на вычисление.

­ Конец страницы 247 ­

¯ Начало страницы 248 ¯

 

то спрашивается, какие числа из указанных здесь нужно складывать, делить и умножать?В анализируемом образце складывались числа 3 и 9, но они сами по себе не могут помочь в выборе тех чисел, которые необходимо сложить в новом случае. Нужно привлечь знание, что 3 и 9 фиксируют длины оснований трапециидального поли. На это указывает рисунок: числа 3 и 9 проставлены у горизонтальных отрезков. Следовательно, сложению подлежат те числа, которые фиксируют длину оснований трапеции: рисунок опять указывает, что это числа 4 и 8, которые связаны с рисунком так же, как числа 3 и 9. Точно так же с помощью рисунка можно определить, что в качестве второго сомножителя берется число 4, фиксирующее величину высоты трапециидального поля,— оно проставлено у вертикального отрезка рисунка. Следовательно, в качестве второго сомножителя во второй задаче нужно взять число 6, так как оно также проставлено у вертикального отрезка рисунка. Полученный результат — число 36, подобно числу 24, проставляется в центре рисунка.

Итак, наличие в образце вычисления чисел и рисунка, связанных между собой,— необходимое условие для фиксации объектов операций. Это означает, что фактически объектами операции являются не числа, а величины, т. е. числа, выражающие определенные предметы, в данном случае выражающие определенные элементы трапеции. В каждой конкретной задаче числа, фиксирующие длину сторон трапеции, меняются, а рисунок трапеции остается неизменным. Это обеспечивает связь нового вычисления с эталонным, высту