Примеры решения задач. 1. Маятник колеблется по закону

1. Маятник колеблется по закону . В момент времени = 0 смещение маятника от положения равновесия = 5 см, а скорость = 10 см/с. Определить амплитуду и начальную фазу колебаний, если круговая частота = 2 рад/с.

Решение:

Из закона движения маятника получаем, что в момент времени = 0

. (1)

Скорость колебаний маятника определяется по формуле:

,

и в момент времени = 0

. (2)

Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим:

.

Отсюда начальная фаза колебаний:

.

Амплитуду колебаний находим из уравнения (1):

Ответ: , .

2. Вывести дифференциальное уравнение малых свободных колебаний физического маятника, а также формулы периода и круговой частоты этих колебаний.

Решение:

Физический маятник — твердое тело массой , с моментом инерции , имеющее ось вращения , расположенную выше центра тяжести .

Тело совершает вращательно–колебательные движения под действием момента силы тяжести, приложенной в центре тяжести

.

Для малых колебаний , . Таким образом,

.

По второму закону Ньютона для вращательного движения:

.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение малых свободных колебаний физического маятника:

.

Это уравнение тождественно уравнению гармонических колебаний:

.

Следовательно, малые колебания физического маятника происходят по гармоническому закону:

с собственной круговой частотой и периодом .

 

3. Период затухающих колебаний равен = 2 с, логарифмический декремент = 0,2. Определить коэффициент затухания, добротность и время релаксации колебаний.

Решение:

По определению логарифмический декремент затухания равен:

.

Отсюда получаем коэффициент затухания:

.

Добротность колебаний равна:

,

а время релаксации:

.

Ответ:

 

4. Упругая волна распространяется со скоростью = 5300 м/с в стержне плотностью = 7,8 г/см³. Найти модуль упругости (модуль Юнга) стержня.

Решение:

Скорость упругих волн в тонком твердом стержне определяется по формуле:

,

где — модуль Юнга; — плотность материала стержня.

Отсюда находим модуль Юнга (модуль упругости) для стержня:

Ответ:

5. Найти массу воздуха при температуре 27°С, давлении 1 атм и объеме 72 м³ .

Решение:

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева ─ Клапейрона):

где — давление; — объем; — абсолютная температура газа; — универсальная газовая постоянная.

Отсюда получаем формулу для расчета массы воздуха:

Абсолютная температура Т = t˚;C + 273 K = 27˚C + 273 K = 300 K,

1 атм = 1,013∙10⁵ Па.

Подставив численные данные в расчетную формулу, получаем:

Ответ:

6. Определить концентрацию молекул водорода, если среднеквадратичная скорость его молекул u = 900 м/с, давление = 100 кПа.

Решение:

Связь между давлением и средней кинетической энергией поступательного движения молекулы идеального газа (основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов):

, (1)

где — концентрация молекул. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа:

, (2)

где ― масса одной молекулы; — средняя квадратичная скорость молекулы.

Массу молекулы найдем, разделив молярную массу водорода на число молекул в одном моле (постоянную Авогадро):

. (3)

Подставив (3) в (2), а затем (2) в (1), получим:

Отсюда

Ответ:

7. При изобарном нагревании 10 моль гелия было затрачено 2078 Дж тепла. Найти работу, изменение внутренней энергии и температуры гелия.

Решение:

Количество теплоты , необходимое для нагревания ν;молейгаза в изобарном процессе, можно найти по формуле:

(1)

где — молярная теплоемкость газа в изобарном процессе; i — число степеней свободы молекулы; R ― универсальная газовая постоянная, — изменение температуры. для гелия i = 3 и, следовательно,

(2)

Подставив (2) в (1), найдем изменение температуры:

Работа при изобарном нагревании определяется по формуле:

Изменение внутренней энергии найдем с помощью первого закона термодинамики:

Ответ: А = 831 Дж; Δ U = 1247 Дж; Δ T = 10 K.

8. Определить КПД идеального двигателя и температуру холодильника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученного от нагревателя, двигатель совершает работу 350 Дж. Температура нагревателя 227 °С.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя равен:

где — теплота, полученная двигателем от нагревателя; — работа, совершенная двигателем.

Численный расчет:

КПД идеального теплового двигателя определяется по теореме Карно:

_,,

где — температура нагревателя; — температура холодильника. Отсюда находим температуру холодильника:

T _х = T _н(1─η_max).

Абсолютная температура нагревателя:

Численный расчет:

Ответ:

9. Найти среднюю длину свободного пробега молекулы кислорода, если плотность газа равна 0,064 кг/м³.

 

 

Решение:

Средняя длина свободного пробега молекул газа:

где — эффективный диаметр (эффективный диаметр молекулы кислорода находим в справочной таблице: d = 0,29 нм); — концентрация молекул.

Плотность газа равна:

где — масса молекулы; _—молярная масса газа; — постоянная Авогадро.

Отсюда находим концентрацию молекул:

Численный расчет:

Ответ:

10. Найти коэффициент теплопроводности воздуха при давлении = 101 кПа и температуре = 300 К.

Решение:

Коэффициент теплопроводности определяется по формуле:

, (1)

где — плотность; — молярная теплоемкость при постоянном объеме; — средняя арифметическая скорость; — средняя длина свободного пробега молекул воздуха.

Плотность воздуха определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

,

где — давление; — объем; m — масса; μ;— молярная масса; — абсолютная температура газа4 — универсальная газовая постоянная. Отсюда плотность:

(2)

Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме:

, (3)

где i = 5― число степеней свободы молекулы воздуха.

Средняя арифметическая скорость молекул:

(4)

Средняя длина свободного пробега молекул газа:

где — эффективный диаметр (эффективный диаметр молекулы воздуха d = 0,35 нм), — концентрация молекул.

Плотность газа равна:

где — масса молекулы, — постоянная Авогадро. Отсюда находим концентрацию молекул:

и среднюю длину свободного пробега молекул:

(5)

Подставив (2), (3), (4), (5) в формулу (1), получим:

Ответ: