Устойчивость равновесия потенциальных систем

Для наиболее распространенного класса потенциальных механических систем исследование устойчивости их состояния равновесия основывается на теореме Лагранжа-Дирихле: равновесное состояние потенциальной системы устойчиво в том случае. Если в этом состоянии ее потенциальная энергия имеет изолированный минимум. При этом характер этого минимума может быть как гладким (когда в точке минимума функция дифференцируема по всем обобщенным координатам ), так и зубцовым (когда по некоторым координатам дифференцируемость отсутствует). В первом случае положения равновесия определяются из соотношений , а их устойчивость зависит от свойств матрицы в точке . Признаком устойчивости является выполнение критерия Сильвестра для этой матрицы в точке . Во втором случае приходится использовать качественные или численные методы как для поиска положений равновесия, так и для установления их устойчивости (т.е. условий наличия негладкого минимума).

 

 

 

Вопросы и задачи:

1. Определить тип функции Ляпунова

а) ;

б) .

 

2. Исследовать устойчивость нулевого решения системы

а)

 

б) , >0, >0

 

в) , , ,

 

г)

 

д) , ,

 

е)

 

3. Даны функции, производные которых по времени в силу уравнений возмущенного движения соответственно равны:

1.

 

2.

3.

4.

Можно ли воспользоваться этими функциями для определения характера устойчивости движения?

 

4. Являются ли приведенные ниже функции знакоопределенными? Знакопостоянными? Если Да, то в какой области?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

 

5. Дайте развернутое определение неустойчивости состояния равновесия.

 

6. В следующих задачах исследуйте устойчивость нулевого решения. Исследуйте асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия.

а)

 

б)

 

в)

 

г)

 

д)

 

е)

 

ж)

 

з)

 

7. Исследовать устойчивость нулевого состояния равновесия систем:

а)

 

б)

 

в)

г)

 

д)

 

е)

 

 

ж)

 

з)

 

и)

 

к)

 

л)

 

м)

8. По равномерно вращающемуся вокруг вертикальной оси кольца радиуса может свободно без трения перемещаться колечко М (см. рисунок 1). Угловая скорость равномерного вращения кольца равна .

 

Рисунок 1

Определить положение динамического равновесия колечка, составить уравнение возмущенного движения относительно равновесного положения и выделить уравнение первого приближения.

 

9. Двойной маятник, изображенный на рис. 2, удерживается в верхнем вертикальном положении двумя спиральными пружинами жесткости и . Точечные массы маятников равны и , а длины невесомых стержней - и , соответственно. В верхнем вертикальном положении маятников спиральные пружины не деформированы.

Рисунок 2

 

Составить уравнение первого приближения возмущенного движения относительно верхнего вертикального положения. Массой стержней и силами сопротивления пренебречь.

10. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия системы обращенных маятников, изображенной на рис. 3, где показаны все размеры системы.

Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и равны и , соответственно. Полагаем, что массой стрежней можно пренебречь, а массы можно рассматривать как материальные точки. При вертикальном положении маятников пружины не напряжены.

Рисунок 3