Влияние структуры сил на устойчивость движения

Пусть исследование устойчивости движения системы относительно переменных и сводится к анализу дифференциальных уравнений возмущенного движения, которые можно представить в виде одного матричного уравнения

. (1)

В этом уравнении - вектор-столбец параметров движения; - заданные квадратные матрицы порядка с постоянными элементами.

- вектор – столбец элементов, являющихся функциями параметров движения и их производных в степенях

 

 

не ниже второй и обращающимися в нуль, если все и обращаются в нуль. Предполагается, что матрица симметрична () и ее квадратичная форма

(2)

определенно-положительная.

В дальнейшем будем считать, что уравнение (1) описывает некоторую механическую систему, в которой переменные являются координатами, их производные по времени - составляющими скоростей, квадратичная форма (2) – ее кинетической энергией, а составляющие и - силами, приложенными к системе.

Представим матрицы в виде симметричных и кососимметричных матриц, положив

(3)

где - симметричные матрицы, а - кососимметричные матрицы, равные

(4)

Подставим полученные выражения в уравнение (1). Оно примет вид:

. (5)

Определим составляющие полученного уравнения.

1. Силы с симметричной матрицей называются потенциальными(или консервативными) силами, а квадратичная форма

(6)

потенциальной энергией системы. Если потенциальная энергия П имеет минимум, то все ее коэффициенты положительны, а при максимуме П – отрицательны. Практически силы - это линейные части естественных потенциальных сил тяжести, упругости и т. п. Нелинейные части этих сил могут входить составляющими правых частей системы уравнений.

2. Силы с симметричной матрицей называются диссипативными силами, а квадратичная форма

,

будучи неотрицательной называется функцией рассеивания или диссипативной функцией Релея. Если - определенно – положительнаяквадратичная форма, то диссипация называется полной, в противном случае – неполной.

3. Силы , линейно зависящие от составляющих скоростей, с кососимметричной матрицей коэффициентов называется гироскопическими силами.

4. Силы , линейно зависящие от координат , с кососимметричной матрицей коэффициентов называются циркуляционными или неконсервативными.

5. Силы называются нелийными. Элементы матрицы содержат координаты составляющие скорости в степени не ниже второй и обращаются в нуль если последние все обращаются в нуль. Таким образом, учитываемые в рассматриваемом случае уравнения учитывают только небольшой класс нелинейных сил.

Вопросы и задачи:

1. Уравнения движения в декартовых координатах имеет вид

,

.

Показать, что они содержат гироскопические силы. Определить степень неустойчивости в отсутствии гироскопических сил.

2. Исследовать устойчивость движения электрона в постоянном магнитном поле, если уравнение движения электрона имеет вид

,

где - масса электрона; u – вектор скорости электрона; е – заряд электрона; с – электродинамическая постоянная, равная скорости света (с =3·10¹⁰ см/с); Н – напряженность магнитного поля.