Критерии устойчивости по первому приближению для установившихся движений

Пусть автономная динамическая система описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

 

(1)

 

Точка , координаты которой удовлетворяют системе уравнений

(2)

 

является одним из состояний равновесия этой динамической системы. Будем полагать, что состояние равновесия изолированное, то есть имеется окрестность состояния равновесия P ₀, в которой нет других состояний равновесия.

Линеаризуем систему (1) в окрестности состояния равновесия P ₀:

(3)

Сделав замену , обозначив и пренебрегая нелинейными членами ,получим линеаризованную систему

(4)

Характеристическое уравнение системы (4) запишем в виде:

(5)

 

где D () – характеристический многочлен, определяемый равенством

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеют действительные части меньшие нуля, то состояние равновесия (2) системы (1) асимптотически устойчиво, каковы бы ни были нелинейные члены.

Теорема 2. Если среди корнейхарактеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеется хотя бы один корень с действительной частью большей нуля, то состояние равновесия (2) неустойчиво при любых нелинейных членах.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение (5) линеаризованной системы (4) не имеет корней с действительной частью большей нуля, но имеет корни с вещественной частью равной нулю, то

а) невозмущенное движение будет устойчиво (не асимптотически), если корни с нулевой вещественной частью соответствуют простым элементарным делителям;

б) невозмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы один корень с нулевой вещественной частью является кратным корнем соответствующего элементарного делителя.

Критерий Гурвица. Развернем характеристическое уравнение (5) по степеням :

 

(6)

 

где a_i R и зависят от параметров системы, a ₀> 0.

Критерий Гурвица дает возможность, не вычисляя корней характеристического уравнения (6), судить о знаках реальных частей его корней только с помощью исследования коэффициентов этого многочлена и, в конечном итоге, судить об устойчивости состояния равновесия. Введем обозначения:

 

.

 

 

Формулировка критерия Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (6) при действительных значениях a ₀> 0 и a_k имели реальную часть меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства:

 

(7)

Построим матрицу Гурвица для уравнения (6):

Частные случаи критерия Гурвица:

n = 2:

n = 3:

n = 4:

 

Замечание 1. Если хотя бы одно из неравенств (7) имеет противоположный смысл, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

Замечание 2. Необходимым условием отрицательности действительных частей всех корней уравнения (6) является положительность

Замечание 3. Если при a ₀> 0 хотя бы один из коэффициентов a_k отрицателен, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

 

Вопросы и задачи:

1. Исследовать устойчивость нулевого решения системы

2. Корни характеристических уравнений таковы:

а)

б)

в)

Какие заключения можно сделать об устойчивости по первому приближению соответствующих состояний равновесия?

 

3. С помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое состояние равновесия.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

 

4. Найти значения параметров a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое решение следующих систем.

 

а)

б)

в)

г)

д)

 

5. Линеаризовав систему дифференциальных уравнений, решить вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия.

 

а)

б)

 

 

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

6. По характеристическому уравнению D() = 0 определить устойчивость состояния равновесия.

 

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

 

л)

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)

х)

ц)

ч)

 

7. Исследовать, при каких значениях параметров a и b нулевое решение асимптотически устойчиво.

 

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

 

8. Дано уравнение Выделите область устойчивости состояния равновесия в плоскости параметров A и B.

 

9. Движение автоматической системы регулирования описывается следующими ДУ

где и - координаты системы; и - положительные параметры системы. Определить какому условию должны отвечать параметры системы, чтобы движение было асимптотически устойчиво.

 

10. Двухроторный гирокомпас Аншютца[1] с гидравлическим успокоителем широко используется в некоторых странах. Если гироскоп такого типа установлен на корабле, северная составляющая путевой скорости которого постоянна, то дифференциальные уравнения движения гироскопа имеют вид:

,

,

.

Здесь и - вариации (отклонения) координат компаса от их значений при динамическом равновесии; - частота собственных колебаний чувствительного элемента (гиросферы); - угловая скорость вращения Земли; - широта, на которой находится корабль; - коэффициент трения жидкости в гидравлическом успокоителе, ; и - маятниковые моменты жидкого успокоителя и гиросферы соответственно; - члены высших порядков по , и .

Определить условие асимптотической устойчивости.

 

11. Гирогоризонткомпас – устройство, которое иногда используется на движущемся корабле для одновременного определения географического меридиана и горизонтальной плоскости. На неподвижном относительно Земли основании дифференциальные уравнения возмущенного движения гирогоризонткомпаса могут быть сведены к двум совершенно аналогичным системам уравнений.

Первая система имеет вид:

,

.

Здесь - величина, пропорциональная углу отклонения от плоскости меридиана; - вариация конструктивного угла; и - коэффициенты, характеризующие диссипативные силы; ; - угловая скорость вращения Земли; - широта места; - члены высших порядков по , .

Во второй аналогичной системе уравнений возмущенного движения и определяют угол отклонения от горизонтальной плоскости и вариацию другого конструктивного угла.

Найти условие асимптотической устойчивости движения гирогоризонткомпаса.

12. Обозначим моменты инерции твердого тела относительно осей через соответственно таким образом, что либо , либо . Доказать, что перманентное вращение твердого тела относительно оси неустойчиво.