КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Изучение волновых процессов на примере стоячей волны, возникающей при поперечных колебаниях струны

 

Изучение волновых процессов на примере стоячей волны, возникающей при поперечных колебаниях струны. Измерения собственных частот колебаний струны с закрепленными концами, снятие резонансной кривой на частоте основного тона, определение скорости распространения поперечных колебаний.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При этом перенос энергии происходит без переноса вещества, т.е. частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение, а совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В поперечной волне частицы совершают колебания в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний, а в продольных волнах – вдоль направления распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. К ним, в частности, относятся поперечные колебания струны. Составим уравнение колебаний струны, натянутой между двумя точками её закрепления, при условии, что амплитуда отклонений струны от положения равновесия настолько мала, что длину струны () можно считать постоянной, а натяжение струны – неизменным по всей длине струны и не зависящим от времени.

Рассмотрим отрезок (рис. 9.1) колеблющейся однородной струны, точки закрепления которой находятся на оси . Пусть в некоторый момент времени на струну было оказано воздействие, приведшее к смещению отрезка из положения равновесия (вдоль оси ) в направлении оси .

 

Так как в исходном положении струна была натянута, то к концам отрезка будут приложены равные силы натяжения , образующие с направлением углы . В интересах наглядности изображения на рис. 9.1 использован укрупненный масштаб при изображении смещения струны вдоль оси .Поэтому при дальнейших расчетах следует иметь ввиду, во-первых, что на рис. 9.1 изображен только некоторый произвольно выбранный отрезок струны и, во-вторых, что смещение вдоль оси существенно меньше длины струны, а углы настолько малы, что с большой точностью соблюдаются приближенные соотношения:

 

, . (9.1)

 

Проекции сил на ось , с учетом соотношений (9.1), соответственно равны:

 

(9.2)

Алгебраическая сумма проекций сил, описываемых соотношениями (9.2), является силой, возвращающей отрезок в положение равновесия. При этом рассматриваемая часть струны (рис. 9.1) будет последовательно принимать положения 1,2,3 и т.д., пока колебания не прекратятся и струна не займет устойчивое положение вдоль оси .

На основании второго закона Ньютона результирующая сила, действующая на отрезок , равна произведению его массы на ускорение , сообщаемое отрезку возвращающей силой:

. (9.3)

 

Разделив правую и левую части соотношения (9.3) на , при значениях получим:

,

или

 

, (9.4)

 

где ; – линейная плотность струны

Соотношения типа (9.4) называются волновыми уравнениями, решение которых можно искать в следующем виде:

 

. (9.5)

 

Подставляя соотношение (9.5) в формулу (9.4), получим:

 

. (9.6)

 

Уравнение (9.6) записано в обыкновенных производных, т.к. и зависят только от и соответственно. Так как и независимые переменные, то равенство (9.6) может соблюдаться во всем диапазоне их измерений, если обе части соотношения (9.6) являются некоторой постоянной величиной, которую обозначим . После проведения очевидных преобразований соотношение (9.6) может быть записано в следующей форме:

 

. (9.7)

Соотношение (9.7) позволяет составить следующие уравнения:

,

(9.8)

.

 

Решения дифференциальных уравнений (9.8) имеют вид:

 

, .

 

Следовательно, решение (9.5) волнового уравнения (9.4) имеет вид:

, (9.9)

 

где – амплитудные значения колебаний, формирующихся в точке с координатой в результате сложения волн, распространяющихся вдоль струны за счет действия возмущающей силы и отраженных от точек закрепления оконечных участков струны. Возникающий в результате колебательный процесс (9.9) называется стоячей волной. Точки, в которых , называются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна – пучностями стоячей волны. Следует иметь в виду, что и пучность, и узел представляют собой не точки, а плоскости, удовлетворяющие указанным условиям. Расстояние между соседними пучностями (также как и между cоседними узлами) равно половине длины волны . Соседние узел и пучность сдвинуты на .

Для нахождения неопределенной постоянной в уравнении (9.9) воспользуемся очевидными граничными условиями, обусловленными тем, что в точках закрепления струны амплитуда равна нулю:

. (9.10)

 

Следовательно,

 

или , (9.11)

 

где =1,2,3... – определяет число пучностей.

Введем для формулы (9.9) следующие обозначения:

 

, (9.12)

 

где ;

– циклическая частота колебаний;

– частота колебаний.

С учётом соотношений (9.4), (9.11) и (9.12) имеем:

 

. (9.13)

 

При установившейся стоячей волне вся длина струны содержит целое число полуволн, т.к. в конечных точках струны согласно (9.10) . Таким образом, и, соответственно:

. (9.14)

 

Так как скорость распространения колебаний:

 

, (9.15)

 

то с учетом формул (9.13) и (9.14) имеем:

 

. (9.16)

 

В равенстве (9.16) можно перейти от линейной к объемной плоскости струны :

 

, (9.17)

 

где – диаметр струны.

При этом соотношение (9.13) можно записать в виде:

 

. (9.18)

 

Частота, соответствующая =1, называется основной , а частоты, соответствующие >1 – собственными или нормальными частотами. Их также называют гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение гармоник.

 

 

ОПИСАНИЕ И ПРИНЦИП РАБОТЫ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

 

Экспериментальная установка, общий вид которой приведен на рис. 9.2, состоит из штатива 1, на основании которого закреплены электронный блок 2 и механизм натяжения струны 3.

 

 

Механизм натяжения струны состоит из основания 4, на котором закреплен постоянный магнит 5 и планка 6. Между полюсами магнита через блок 8 протянута струна 9. Один конец струны крепится к клемме 10, а другой – к тарировочной пружине 11. Второй конец пружины механически связан с винтовым механизмом 12, предназначенным для изменения натяжения струны. Сила натяжения струны измеряется в Ньютонах по шкале 13 при помощи указателя 14. Пределы изменения натяжения струны составляют 0,2–0,6 Н. Весь механизм закрыт кожухом 16, на передней поверхности которого нанесена шкала 17, предназначенная для измерения длины полуволны. Для улучшения видимости колеблющейся струны применяется подсветка.

Принцип действия установки основан на возникновении сил, действующих на струну (проводник) с током в магнитном поле. Величина силы, раскачивающей струну, по которой протекает ток, определяется согласно закону Ампера:

 

, (9.19)

 

где – магнитная индукция постоянного магнита 5,между полюсами которого протянута струна;

– ток протекающий через струну;

– длина участка струны, находящегося в пределах зазора магнита;

– угол между струной и направлением вектора магнитной индукции.

Для изменения точки приложения силы Ампера постоянный магнит можно передвигать, предварительно ослабив винты 7. Источником тока струны является генератор синусоидальных колебаний, входящий в состав электронного блока устройства. При прочих равных условиях колебания имеют наибольшую амплитуду при совпадении частоты генератора с одной из собственных частот струны. Частота генератора изменяется от 10 до 100 Гц при нажатии кнопки S1 переключателя диапазонов, а при нажатии кнопки S2 – от 100 до 400 Гц. Изменение частоты осуществляется с помощью выведенных на переднюю панель регуляторов грубой и плавной установки частоты. Частота генератора измеряется с помощью частотомера входящего в состав электронного блока. Индикатор частотомера выведен на переднюю панель блока. Амплитуда напряжения генератора может плавно изменяться с помощью регулятора "Выход" в пределах 0,2–4,0 В.

На задней панели блока имеется клемма "Контроль" при нажатии которой в случае нормальной работы частотомера индицируется контрольная частота 1024 Гц.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку "Сеть". После этого должна загореться цифровая индикация электронного блока и лампа подсветки струны.

Дать электронному блоку в течение 1–2 минут выйти на устойчивый режим работы.

Ручкой 15 установить натяжение струны F = 0,40 Н, а ручку "Выход" повернуть вправо до упора.

2. Включить первый диапазон генератора (10–100 Гц) нажатием кнопки S1. Изменяя частоту генератора с помощью ручек "Грубо" и "Плавно", получить одну хорошо различимую полуволну по всей длине струны. Отсчет частоты производить при максимальной амплитуде полуволны. Результат измерений занести в таблицу 1.

 

Таблица 1

№ пп

3. Увеличить в 2, а затем в 3 или 4 раза начальную установку частоты генератора относительно . Поворачивая регулятор установки частоты вправо и влево, а при необходимости изменяя и диапазон частот, определить вторую и третью (четвертую) резонансные частоты . Полученные результаты занести в таблицу 1.

4. Установить натяжение струны 0,2 и 0,6 Н, повторяя каждый раз операции, описанные в пп. 2, 3.

5. Определить расчетно-экспериментальные значения скоростей распространения волн по формуле:

 

, (9.20)

 

где – длина струны, равная 0,6 м;

– номер гармоники.

Результаты расчетов занести в таблицу 1.

6. Определить по формулам (9.17) и (9.18) расчетные значения скоростей распространения волн и частот колебаний для ситуаций, исследованных экспериментально. При выполнении расчетов принимать, что струна выполнена из стали , имеет диаметр и длину .

Результаты расчетов занести в таблицу 1.

7. Для величины , приведенной в таблице 1, определить:

математическое ожидание:

 

,

среднеквадратическое отклонение:

 

,

 

доверительный интервал для доверительной вероятности :

 

,

 

где – коэффициент Стьюдента (см. Приложение 1);

– число измерений.

8. Установить натяжение струны , а частоту генератора равной для данного натяжения струны. С помощью регулятора настройки частоты "Плавно" настроиться на максимальное значение амплитуды колебаний струны. Занести полученную величину в таблицу 2. Изменяя частоту генератора () путем вращения регулятора настройки вправо и влево относительно , определить область вблизи резонансной частоты, в которой заметно изменяется амплитуда колебаний струны. Разбить эту область на 5–10 точек и снять зависимость амплитуды колебаний от частоты генератора. Особенно часто следует проводить измерения вблизи резонансной частоты. Результаты измерений занести с таблицу 2.

 

Таблица 2

№ пп

Повторить указанные измерения для силы натяжения , равной соответственно 0,2 и 0,6 Н.

9. По данным таблицы 1 построить в одной и той же координатной системе зависимости расчетных и экспериментальных величин скорости распространения волны от натяжения струны.

По данным таблицы 2 построить резонансные кривые для первой гармоники (моды), откладывая по оси значения частоты, а по оси величины отношений текущих значений амплитуд колебаний струны к максимальному значению в соответствующей серии измерений.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте определения бегущей и стоячей волны.

2. Укажите отличия продольных волн от поперечных.

3. Покажите, как связаны волновое число, частота и скорость волны, а также длина волны.

4. Укажите, какие приближения сделаны при выводе волнового уравнения (9.6).

5. Сформулируйте третий закон Ньютона для участка струны.

6. Выведите уравнение, описывающее поперечные колебания струны, закрепленной на концах.

7. Выведите решение предыдущего уравнения, опишите его вид.

8. Сформулируйте определение углов и пучностей, выведите выражение для расстояния между соседними углами либо пучностями.

9. Сформулируйте определение нормальных колебаний (гар-моник), укажите их частоты.

10. Запишите выражение, описывающее бегущую плоскую волну.

11. Запишите выражение, описывающее стоячую плоскую волну.

12. Запишите выражение, описывающее бегущую сферическую волну.

13. Укажите, от чего зависит скорость распространения волны в данном случае.

14. Дайте определение интенсивности бегущей и стоячей волны.

15. Объясните, что называется резонансом. Сколько резонансных частот возможно в данном опыте, укажите их.

16. Опишите принцип работы экспериментальной установки.

17. Расскажите, как возбуждаются колебания в струне.

18. Чем определяется величина силы, действующей на струну?

19. Объясните, в каком случае колебания имеют наибольшую амплитуду.

20. Укажите, сколько резонансных частот вы наблюдали.

21. Укажите величину систематической ошибки (прибора) в определении частоты.

22. Оцените наибольшую относительную ошибку измерения частоты .

23. Оцените абсолютную (прибора) и относительную ошиб-ку определения длинны струны , из двух величин и оставляйте наибольшую , если они одного порядка, вычислите .

24. Вычислите абсолютную ошибку скорости , если считается, что относительная ошибка равна наибольшей, рассчитанной в п. 8. .

25. Сравните, попадают ли расчетные значения скорости в интервал .

26. В случае сильного (>50%) отклонения величины от единицы (см. п.7, порядок выполнения работы). Укажите причины возможных ошибок.

27. Нарисуйте зависимость амплитуды колебаний от частоты генератора, объясните ход этой зависимости.

28. Оцените величину абсолютной и относительной ошибки измерения амплитуды при исследовании .

29. Расскажите, широкий или узкий резонанс вы наблюдаете. Рассчитайте ширину резонансных кривых на половине максимальной высоты.

30. Объясните, от чего зависит ширина резонансной кривой.

 

 

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

1. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной...

1) ; 2) p; 3) ; 4) 0.

 

2. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону . Максимальное значение ускорения точки равно...

1) 0,6p м/с²; 2) м/с²; 3) 4p² м/с²; 4) 0,4p² м/с².

 

3. На рисунках изображены зависимости от времени скорости и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

Циклическая частота колебаний точки равна...

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1.

 

 

4. На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

 

Циклическая частота колебаний точки равна...

1) 2 с^–1; 2) 4 с^–1; 3) З с^–1; 4) 1 с^–1.

5. На рисунках изображены зависимости от времени координаты и скорости материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

Циклическая частота колебаний точки равна...

1) 4 с^–1; 2) 2 с^–1; 3) 1 с^–1; 4) 3 с^–1.

 

6. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид x = 0,01sin(w t - 2 х). Циклическая частота w равна...

1) 1000 с^–1; 2) 0,001 с^–1; 3) 159 с^–1; 4) 3 с^–1.

 

7. На рисунке представлена зависимость относительной амплитуды вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе емкостью 1нф, включенного в колебательный контур.

При малом затухании индуктивность катушки этого контура равна…

1) 1 мГн; 2) 100 мГн; 3) 10 мГн; 4) 0,1мГн.

8. На рисунке представлена зависимость относительной амплитуды вынужденных колебаний силы тока в катушке индуктивностью 1мГн, включенной в колебательный контур.

Емкость конденсатора этого контура равна...

1) 10 нф; 2) 1 нф; 3) 0,1 нф; 4) 100 нф.

 

 

9. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

 

1) 1; 2) 4; 3) 3; 4) 2.

 

 

10. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

 

1) 1; 2) 4; 3) 2; 4) 3.

 

11. При уменьшении в 2 раза амплитуды колебаний векторов напряженности электрического и магнитного полей плотность потока энергии...

1) уменьшится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза;

3) останется неизменной; 4) увеличится в 4 раза.

 

12. Если увеличить в 2 раза объемную плотность энергии и при этом увеличить в 2 раза скорость распространения упругих волн, то плотность потока энергии...

1) останется неизменной; 2) увеличится в 4 раза;

3) увеличится в 2 раза; 4) уменьшится в 4 раза.

 

13. Если уменьшить в 2 раза объемную плотность энергии при неизменной скорости распространения упругих волн, то плотность потока энергии.

1) уменьшится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза; 3) останется неизменной.

14. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону

Максимальное значение скорости точки равно…

1) 2p м/с; 2) 0,2p м/с; 3) 0,1p м/с; 4) p м/с.

 

15. Период колебаний математического маятника при увеличении его массы в 2 раза...

1) увеличится; 2) не изменится; 3) уменьшится.

 

16. Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания.

 

На графике представлена зависимость проекции силы упругости пружины на положительное направление оси Х от координаты шарика.

Работа силы упругости при смещении шарика из положения 0 в положение В составляет…

1) 0 Дж; 2) –4×10^–2 Дж; 3) 4×10^–2 Дж; 4) 8×10^–2 Дж.

17. При условиях предыдущего теста работа силы упругости при смещении шарика по траектории А - В -О составляет…

1) 0 Дж; 2) –4×10^–2 Дж; 3) 4×10^–2 Дж; 4) 8×10^–2 Дж.

18. При условиях предыдущего теста работа силы упругости при смещении шарика по траектории В - А -О составляет…

1) 0 Дж; 2) –4×10^–2 Дж; 3) 4×10^–2 Дж; 4) 8×10^–2 Дж.

 

19. Если массу груза увеличить в 4 раза, то период колебаний математического маятника...

1) уменьшится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза;

3)не изменится; 4) увеличится в 2 раза.

 

20. Звуковая волна распространяется в воздухе от источника колебаний. При увеличении частоты колебаний источника n в 2 раза...

1) длина волны lи скорость распространения волны v уменьшатся в 2 раза;

2) длина волны lуменьшится в 2 раза, а скорость распространения волны v не изменится;

3)длина волны lи скорость распространения волны v не изменятся;

4) длина волны lуменьшится в 2 раза, а скорость распространения волны v увеличится в 2 раза.

 

21. В газовой среде распространяются…

1) только поперечные волны; 2)только продольные волны; 3) продольные и поперечные волны.

 

22. В твердых телах распространяются…

1) только поперечные волны; 2)только продольные волны; 3) продольные и поперечные волны.

 

23. Волну, в которой колебания происходят вдоль линии перемещения волны, называют...

1) световой волной; 2) электромагнитной волной; 3) поперечной волной;

4) стоячей волной; 5) продольной волной.

 

24. Для сферической волны справедливо утверждение...

1) волновые поверхности имеют вид параллельных друг другу плоскостей;

2) амплитуда волны обратно пропорциональна расстоянию до источника колебаний (в непоглощающей среде);

3) амплитуда волны не зависит от расстояния до источника колебаний (при условии, что поглощением среды можно пренебречь).

 

25. Свободные гармонические колебания маятника описываются графиком,

представленным на рисунке.

На маятник начинает действовать периодически изменяющаяся вынуждающая

сила. Колебания войдут в резонанс при частоте вынуждающей силы...

1) 1,25 Гц; 2) 0,8 Гц; 3) 2,5 Гц; 4) 3,75 Гц.

 

 

26. Для интерференции двух волн необходимы и достаточны…

1) постоянная для каждой точки разность фаз и одинаковое направление колебаний;

2) одинаковая частота и одинаковое направление колебаний;

3) одинаковая амплитуда и одинаковая частота колебаний.

4) постоянная разность фаз и одинаковая частота колебаний.

 

 

27. Для плоской волны справедливо утверждение:амплитуда волны обратно пропорциональна расстоянию до источника колебаний (в непоглощающей среде);

1) волновые поверхности имеют вид концентрических сфер;

2) амплитуда волны не зависит от расстояния до источника колебаний (при условии, что поглощением среды можно пренебречь).

 

28. Уравнение бегущей вдоль оси х волны имеет вид…

29. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодм Т = 2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется в соответствии с уравнением (в СИ)…

1) x = 0,04 sin 2 t; 2) x = 0,04 cos p t; 3) x = 0,04 sin p t; 4) x = 0,04 cos 2 t.

 

30. Уравнение движения пружинного маятникаявляется дифференциальным уравнением...

1) вынужденных колебаний; 2) свободных затухающих колебаний;

3) свободных незатухающих колебаний.

31. Уравнение движения пружинного маятника

является дифференциальным уравнением...

1) вынужденных колебаний;

2) свободных затухающих колебаний;

3) свободных незатухающих колебаний.

32. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону

Уравнение изменения скорости точки имеет вид...

33. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид .

Тогда скорость распространения волны равна…

1) 500 м/с; 2) 2 м/с; 3) 1000 м/с.

 

 

34. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А ₀. При разности фаз амплитуда результирующего колебания равна…

1) (5/2) А ₀; 2) 2 А ₀; 3) 0; 4) А ₀.

 

35. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А ₀. При разности фаз амплитуда результирующего колебания равна…

1) (5/2) А ₀; 2) 2 А ₀; 3) 0; 4) А ₀.

 

36. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А ₀. При разности фаз амплитуда результирующего колебания равна…

1) (5/2) А ₀; 2) 2 А ₀; 3) 0; 4) А ₀.

 

37. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуда результирующего колебания минимальна при разности фаз складываемых колебаний равной…

1) 0; 2) кратной четному числу p; 3) кратной нечетному числу p.

 

38. На закрепленной струне установилась стоячая волна. Ускорение равно нулю в точках струны…

1) 3,4,5; 2) 1,3,5; 3) 3,5; 4) 1,2,3; 5) 2,4.

 

39. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуда результирующего колебания максимальна при разности фаз складываемых колебаний равной…

1) 0; 2) кратной четному числу p; 3) кратной нечетному числу p.

 

40. Для продольной волны справедливо утверждение...

1) частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны;

2) возникновение волны связано с деформацией сдвига;

3) частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

41. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 2.

42. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

 

1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 2.

 

43. На рисунке представлена фотография электрической составляющей электромагнитной волны, переходящей из среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе раздела АВ

Относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1 равен…

1) 1,75; 2) 0,67; 3) 1; 4) 1,5.

44. Из приведенных выражений уравнением сферической бегущей волны является…

45. Свободные затухающие колебания заряда конденсатора в колебательном контуре описываются уравнением...