Вынужденные колебания. Внешняя вынуждающая сила F=F0cos wt (3)

Сила квазиупругая (1)

Сила сопротивления = -r (2)

Внешняя вынуждающая сила F=F₀cos wt (3)

w - циклическая частота вынуждающей силы.

 

Второй закон Ньютона

 

mа = -kx - rx’ + F₀coswt

 

x’’+2dx’+w₀²x = F₀/m coswt (4)

 

Общее решение однородного уравнения

x₁=A e^-dt cos(ω^’t + φ₀) (5)

где .

 

Частное решение неоднородного уравнения

x₂=Acos(wt-j) (6)

 

где j - сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.

x’= - Aw sin(wt-j) = Aw cos(wt-j+p/2)

x’’= - Aw²cos(wt-j) = Aw²cos(wt-j+p)

Aw²cos(wt-j+p) + 2d Aw cos(wt-j+p/2) + +w₀² Acos(wt-j) = f₀ coswt

 

 

(w₀² - w²)²A² + 4d²w²A² = f₀²

 

(7)

(8)

 

Общее решение

x = x₁+ x₂

 

 

Резонанс.

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении (совпадении) частоты действия внешней вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы называется резонансом.

 

-4(w₀² - w²)w + 8d²w = 0

 

Решения

ω=0 и

 

(1)

(2)

 

Волны

1. Источник колебаний.

2. Упругая среда распространения волнового процесса.

 

l = v T = v/n, м.

 

Уравнение плоской и сферической волн.

 

x = x(x, y, z, t) (1)

 

x = x(x, t) (1’)

 

x(0, t) = A cos wt

 

t = x/v

 

x(x, t) = A cos w(t - t) = A cos w(t - x/v)

 

x(x, t) = A cos w(t ± x/v) (2)

 

k=2p/l; v=w/k

 

Уравнение плоской волны x(x, t) = A cos (wt ± kx) (2’)

 

t = r/v

 

Уравнение сферической волны x(r, t) = A/r cos w(t - r/v) (3)

 

 

Энергия волны.

 

1. Энергия .

2. Поток энергии (мощность) 2rSv(pnA)²

3. Интенсивность (плотность потока энергии) 2rv(pnA)²

 

 

Волновое уравнение

(1)

 

(2)