Механические КОЛЕБАния

Цель работы: изучение основных закономерностей колебательного движения.

Теория

Колебательным движением называется, движение, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени.

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (колебания маятника, поршня и т. п.) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания следующее:

или , (1)

где — коэффициент упругости, m — масса колеблющейся системы, х — смещение колеблющейся систе­мы, F = — kx — возвращающая или центральная сила. Решение такого уравнения имеет вид:

или (2)

где х — колеблющаяся величина (смещение, скорость, ус­корение, сила и т. п.), t — время, А — амплитуда колеба­ния, равная максималь­ному абсолютному значению х (максимальное от­клонение колеблющейся величины от положения равновесия), w — цикличе­ская или круговая частота (рис. 1).

Физический смысл ци­клической частоты состоит в том, что w численно равна числу полных колебаний, совершаемых за 2p сек, т. е. , , где — частота колебаний, т. е. число полных колебаний, совершаемых за единицу времени; Т — период колебаний — время, за которое совершается одно полное колебание, — фаза колебания. Фаза колебания - функция времени определяет значение х в данный момент времени t, — начальная фаза колебания в момент начала отсчета времени, т. е. при t = 0.

Если в уравнение (1) подставить одно из решений (2), то получим:

Отсюда (3)

 

 

Формула (1) описывает гармоническое колебательное движение, происходящее вдоль какой-либо линии, такие колебания называются колебательными системами с одной степенью свободы (рис. 2 а). Если система может совершать два независимых друг от друга колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то такая система обладает двумя степенями свободы (рис. 2, б).

Пружинный маятник может колебаться в трех независимых направлениях и называется колебательной системой с тремя степенями свободы (рис. 2, в). Если система совершает колебания около положения равновесия (после того как она каким-либо образом была выведена из положения устойчивого равновесия) без воздействия переменных внешних сил, то такие колебания называются собственными или свободными. Частота, с которой колеблется система () - при свободных колебаниях, называется собственной частотой системы.

1. Рассмотрим некоторые примеры свободных незатухающих колебаний тел, т. е. колебаний с неизменной амплитудой.

- Колебания груза на пружине. Колебательное движение происходит под действием упругой или квазиупругой силы F (силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также удовлетворяющие уравнению F=-kx, называются квазиупругими):

Эта сила всегда направлена к положению равновесия, а смещение х — в противоположную сторону, поэтому имеем знак минус. Такая сила называется возвращающей силой. По второму закону Ньютона

или (4)

где m – масса колеблющегося тела, k – коэффициент упругости;

(5)

где - частота; - период собственных колебаний.

Из формулы (5) легко опре­делить период собственных упругих колебаний, например, груза на пружине. Так как

, то (6)

- Крутильные ко­лебания. Система совер­шает крутильные колебания, т. е. такие колебания, при которых твердое тело А, под­вешенное на вертикальной невесомой нити (или невесомом стержне В), верхний конец которой закреплен неподвижно в точке О', а ось z совпадает с одной из свободных осей тела, колеблется в плоскости хОу, отклоняясь от оси х на угол вправо и влево (рис. 3).

При крутильных колебаниях на тело действует возвра­щающий момент, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем сообщающий телу обрат­ное движение.

Возвращающий момент М обусловлен упругими силами, возникающими в стержне при его кручении вокруг оси Oz.

В случае малых углов крутильные колебания можно считать гармоническими и тогда по второму закону механи­ки для вращательного движения

, , ; (7)

где D — постоянная величина для данного стержня (нити), называется, модулем кручения, a (см. формулу (4)). Из формулы (6) период собственных крутильных коле­баний

(8)

где J — момент инерции тела А относительно оси Оz.

- М а я т н и к. 1) Точечное тело, подвешенное к неве­сомой и нерастяжимой нити, совершающее колебания в вертикальной плоскости под действием собственного веса, на­зывается математическим маятником (рис. 4, а).

В вертикальном положении сила тяжести материальной точки полностью уравновешивается натяжением нити и маятник остается в покое (положение равнове­сия — точка А). Если маятник отклонить от положения равновесия в точку С на некоторый угол , то составляющая силы тяжести, направленная вдоль нити, т.е. сила уравновесится натяжением нити , другая же составляющая, т.е. сила , перпендикуляр­ная к нити, стремится вернуть маятник в положение равновесия. Эта сила является возвращающей силой. В этом случае движение маятника определяется не упругой силой, а квазиупругой силой. Квазиупругая сила — сила, не упругая по своей природе, но аналогичная упругой силе по виду зависимости от смещения. Колебания, вызываемые этой силой при малых углах , совпадают по характеру движения с колебаниями, вызываемыми упругой силой.

Длина дуги х = АС, на которую маятник отклонился от положения равновесия, называется смещением. Если смещение от А к С считать положительным, а от А к В — от­рицательным, то сила всегда будет направлена обратно смещению и при малых углах отклонения (2—4°) пропор­циональна смещению.

При отклонении маятника на угол на точку С действует вращающий момент

; (9)

где l — плечо силы . Маятник будет совершать движение по окружности около точки подвеса О. По второму закону динамики для вращательного движения

(10)

где — момент инерции точки. Приравнивая фор­мулы (9) и (10), получим:

или (11)

(для малых углов , если измерять в радианах и ). Это уравнение такое же, как и уравнение (4), поэтому можно заменить

и период свободных колебаний математического маятника

(12)

где l — длина математического маятника.

2) Если вместо точки возьмем твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса Р вокруг не­подвижной оси О, не проходящей через центр тяжести тела С, то будем иметь физический маятник (рис. 4, б). На рисунке точка О — точка подвеса, С — центр тяжести. При отклонении маятника на угол составляющая веса Р сила f₂ уравновешивается реакцией оси О. Составляющая же f₁ стремится возвратить маятник в положение равновесия. Для малых углов

Возвращающий момент М, создаваемый силой f₁ численно равен:

(13)

где L = ОС плечо силы f₁.

По второму закону динамики для вращательного дви­жения

(14)

где J — момент инерции маятника относительно оси О. Из формул (13) и (14) имеем:

; (15)

Уравнение (15) аналогично уравнениям (4), (7) и (11), поэтому

Отсюда период собственных колебаний физического маятника

(16)

Выражение называется приведенной длиной физического

маятника.

Приведенной длиной физического маятника называется длина некоторого воображаемого математического маят­ника, которой имеет тот же период колебаний, что и дан­ный физический маятник.

На практике приведенная длина физического маятника определяется расстоянием между точкой подвеса маятника О и его центром качания О' (точкой, находящейся от точки подвеса на расстоянии, равном приведенной длине маятни­ка). Центр качания лежит ниже центра тяжести маятника. Маятник, вся масса которого была бы сосредоточена в цент­ре качания, имел бы тот же период, что и математический маятник данной длины.

2. Если колеблющаяся система находится в вязкой среде, то колебания через некоторое время прекратятся. Это явление представляет собой затухающее коле­бание.

Затухающими колебаниями называются колебания, энер­гия которых уменьшается с течением времени.

Система тел, механическая энергия которых постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энер­гии, называется диссипативной. Все реальные колебатель­ные системы являются диссипативными. Энергия в диссипа­тивной системе расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии двух сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях имеет вид:

или или (17)

где m — масса колеблющегося тела, а — его ускорение, -kx — упругая (возвращающая) сила, F_тр= -rv — сила сопротивления среды — сила трения, r — коэффициент сопротивления среды, v — скорость движения тела в среде. Решение уравнения (17) дает зависимость смещения х от времени t: , где - амплитуда затухающих колебаний, е – основание натурального логарифма, коэффициент затухания, собственная циклическая частота затухающих колебаний системы, — собственная циклическая частота свободных колебаний системы (в от­сутствие вязкой среды).

Затухающее колебание при показано на рис. 5.

Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знака A_t и A_t+T, отстоящих друг от друга на период Т, равно:

(18)

и называется декрементом затухания.

Натуральный логарифм от этого отношения

(19)

называется логарифмическим декрементом затухания.

3. Если на систему действует периодическая сила, поддерживающая колебание системы, то система совершает вынужденные незатухающие колебания.

Уравнение вынужденных прямолинейных колебаний имеет вид:

или или (20)

где F — периодически действующая внешняя сила, вынуж­дающая или возмущающая, , где F₀ — амплитуда вынуждающей силы.

 

экспериментальная часть

задача 1. Определение ускорения силы тяжести при помощи математического маятника.

Приборы и принадлежности: маятник, секундомер. При выполнении эксперимента с помощью Interactive Physics рабочий файл – «Lab 1-3-mm.ip».

В эксперименте исследуется колебательное движение груза, подвешенного на длинной нити. Соотношение его элементов таково, что этот физический маятник с достаточной степенью точности может считаться моделью математического маятника.

Математический маятник (рис. 6), применяемый в эксперименте, представляет собой массивный шарик небольшого радиуса, подвешенный на двойной нити для того, чтобы колебания происходили строго в одной плоскости.

Ускорение свободного падения с учётом выражения (10) можно определить по формуле:

(21)

где - длина математического маятника, которую можно считать равной расстоянию от точки подвеса до центра шарика; - период колебаний.

Однако, расчёт по формуле (21) является неточным, ввиду того, что допускаются погрешности при определении длины маятника. Поэтому поступают следующим образом: измеряют длину маятника и определяют период по формуле (12), затем изменяют длину до значения и определяют соответствующий период . Разность квадратов периодов равна: ,

откуда:

(22)

Таким образом, при расчёте ускорения свободного падения по формуле (22) исключаются систематические погрешности, возникающие при измерении длины математического маятника в данной установке. Учёт случайных погрешностей осуществляется статистическим методом.

1. Замерить длину нити маятника .

2. Ввести маятник в движение, отклонив шарик на 4-5⁰ от положения равновесия.

3. Измерить время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.

4. По формуле (12) определить период математического маятника.

5. Изменить длину маятника, повторить всю последовательность операций, рассчитать новый период колебаний .

6. По формуле (22) определить ускорение свободного падения.

7. Опыт повторить не менее 3-х раз. Выполнить статистическую проверку по методу Стьюдента. Сравнить полученное значение «» с табличным.

 

задача 2. Изучение собственных колебаний пружинного маятника.

Приборы и принадлежности: набор пружин и грузов, штатив, секундо­мер, сосуд с вязкой жидкостью.

Теория метода и описание установки. В данной работе рассматривают простейший случай собственных незатухаю­щих колебаний пружинного маятника, а именно колебания груза на пружине. В воздухе эти колебания можно считать незатухающими. Уравнение таких колебаний имеет вид

или (23)

где k — коэффициент упругости пружины.

Коэффициент k можно определить опытным путем, если измерить величину х, на которую растянется пружина А при подвешивании к ней груза Р=F (рис. 7, а):

(24)

Измерения и обработка результатов измерений.

Опре­деление коэффициента упругости.

1. Находят коэффициент упругости для каждой пружины по форму­ле (24). Измерения проводят для каждой пружины при трех различных грузах Р. При выполнении эксперимента с помощью Interactive Physics рабочий файл – «Lab 1-3-pr-1.ip».

2. Определяют зависимость периода собственных колеба­ний пружинного маятника от массы груза. Для этого изме­ряют секундомером период T_i собственных колебаний для одной из пружин с коэффициентом упругости k₁ при разных грузах Р и строят график зависимости от m (по оси х откладывают массу m).

Период Т_i измеряют из 10—15 полных колебаний

,

где t_i - время n_i полных колебаний.

3. Находят зависимость собственных колебаний маятника от коэффициента упругости пружины, для чего измеряют периоды Т₀ собственных колебаний пружин при одном и том же грузе Р₀ и строят график зависимости Т₀ от k (по оси абсцисс откладывают значения k). При выполнении эксперимента с помощью Interactive Physics рабочий файл – «Lab 1-3-pr-2.ip».

4. По формуле (6) вы­числяют теоретически коэффициенты упругости пружин используя значения Т₀, полученные опыт­ным путем. Вычисленные значения k₀ сравнивают с опытными результатами, полученными по формуле (24) для одних и тех же грузов Р.

Результаты измерений и вычислений записывают в таб­лицы для короткой пружины № 1, средней № 2 и длинной № 3 (рис. 8).

 

	№ пружин	P0=
№ опыта	P	x		ti	ni
…
Среднее значение	´	´		´	´	´	´	´	´

 

Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника методом сравнения амплитуд.

1. Один из грузов Р помещают в сосуд с вязкой жидкостью (рис. 7, б) и приводят в колебание. Измеряют время , за которое начальная амплитуда А₀ уменьшится в 10 раз, т. е. A_t=10A₀. Первоначальную амплитуду берут равной 70—100 мм. При выполнении эксперимента с помощью Interactive Physics рабочий файл – «Lab 1-3-pr-3.ip».

Вычисляют логарифмический декремент затухания l, для этого формулу (19) преобразуют следующим образом. Время t берут не для одного периода, а для n периодов и вы­числяют отношение d двух амплитуд для времени t = 0 и t=t₀+nT₀, т.е. , где Т₀ — период затухающих колебаний.

В это выражение подставляют значения

и

и получают:

После логарифмирования будем иметь:

Отсюда

(25)

где — время, за которое маятник совершил n полных колебаний, т. е. , d — отношение двух амплитуд, отличающихся друг от друга на время . В нашем случае d = 10 (амплитуда уменьшилась в 10 раз) и окончательная формула для l пружинного маятника будет:

(26)

По этой формуле вычисляют l не менее трех раз, меняя начальную амплитуду А₀. Значения Т₀ берут из первого упражнения для той пружины, с которой проводили данное измерение.

2. Из формул и (19) вычисляют коэффициент сопротивления (трения) среды:

Измерения и результаты вычислений записывают в таб­лицу.

A0		l	r	Т0= m=
			´
Среднее значение	´			´
			´
Среднее значение	´			´
			´
Среднее значение	´			´

Контрольные вопросы

1. Запишите закон движения гармонически колеблющегося тела?

2. Напишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний?

3. Что представляют собой свободные и вынужденные незатухающие колебания?

4. Какими выражениями определяются периоды колебаний физического, математического и пружинного маятников?

5. Какие силы называют квазиупругими?

6. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний.

7. Как зависит ускорение свободного падения от высоты и географической широты местности?

8. Поясните метод сравнения амплитуд использующийся для определения логарифмического декремента затухания пружинного ма­ятника.

литература

1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М., 1986. 181 с.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: Механика. М., 1989. 225 с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1987.

4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. М., 1979.