Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретические сведения. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.





Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] заданы точки xk, k=0,1,…,n (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени n

, (6.1)

значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции f(x) в этих точках:

(6.2)

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов a0,a1,…,anполучаем систему линейных уравнений

,

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi, i=0,1,…,nнет совпадающих. Решение системы можно записать различным образом.

Интерполяционный многочлен, представленный в виде

(6.3)

называется интерполяционным многочленом Лaгранжа (Жозеф Луи Лагранж — французский математик). Функции wi есть многочлены степени n, которые называются лагранжевыми коэффициентами:

(6.4)

Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

1. При имеем две узловые точки. Формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:

,

где — абсциссы этих точек.

2. При получим уравнение параболы , проходящей через три точки:

,

где — абсциссы данных точек.

 

Отметим преимущества и недостатки многочлена Лагранжа.

Преимущества: интерполяционный многочлен Лагранжа работает как для таблиц с постоянным шагом, так и для таблиц с переменным шагом; рni(x) не зависит от функции f(x), откуда следует, что по одной системе узлов можно интерполировать несколько функций.

Недостатки: все слагаемые в формуле Лагранжа равнозначны, поэтому при добавление узлов таблицы многочлен Лагранжа придется полностью перестраивать.

Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа удовлетворяет неравенству

,

где , , .

Величину ошибки можно минимизировать, если в качестве узлов интерполяции выбрать абциссы (узпы) полинома Чебышева. Многочлен Чебышева Tn(x) на интервале [-1,1] имеет ровно n действительных корней, определяемых как . Для того чтобы решить задачу интерполяции на интервале [a,b], необходимо выполнить линейное преобразование .







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 600. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия