Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретические сведения. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.





Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] заданы точки xk, k=0,1,…,n (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени n

, (6.1)

значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции f(x) в этих точках:

(6.2)

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов a0,a1,…,anполучаем систему линейных уравнений

,

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi, i=0,1,…,nнет совпадающих. Решение системы можно записать различным образом.

Интерполяционный многочлен, представленный в виде

(6.3)

называется интерполяционным многочленом Лaгранжа (Жозеф Луи Лагранж — французский математик). Функции wi есть многочлены степени n, которые называются лагранжевыми коэффициентами:

(6.4)

Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

1. При имеем две узловые точки. Формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:

,

где — абсциссы этих точек.

2. При получим уравнение параболы , проходящей через три точки:

,

где — абсциссы данных точек.

 

Отметим преимущества и недостатки многочлена Лагранжа.

Преимущества: интерполяционный многочлен Лагранжа работает как для таблиц с постоянным шагом, так и для таблиц с переменным шагом; рni(x) не зависит от функции f(x), откуда следует, что по одной системе узлов можно интерполировать несколько функций.

Недостатки: все слагаемые в формуле Лагранжа равнозначны, поэтому при добавление узлов таблицы многочлен Лагранжа придется полностью перестраивать.

Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа удовлетворяет неравенству

,

где , , .

Величину ошибки можно минимизировать, если в качестве узлов интерполяции выбрать абциссы (узпы) полинома Чебышева. Многочлен Чебышева Tn(x) на интервале [-1,1] имеет ровно n действительных корней, определяемых как . Для того чтобы решить задачу интерполяции на интервале [a,b], необходимо выполнить линейное преобразование .







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 600. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия