Теоретические сведения. Интерполяционный полином не всегда дает хороший результат

Интерполяционный полином не всегда дает хороший результат. Например, аппроксимация резонансных кривых колебательных систем дает большую погрешность как на концах кривых (крыльях), так и между узлами. При увеличении степени интерполяционного полинома погрешность только возрастает (явление волнистости). Широкое распространение для решения задачи интерполяции получает аппарат сплайнов. Рассмотрим интерполяцию кубическими сплайнами. В отличии от интерполяции полиномом на каждом участке строится отдельный сплайн.

Пусть на отрезке [a, b] имеется таблично заданая функция a=x₀<x₁<…<x_n =b.Шаг таблицы может быть непостоянным.

Постановка задачи: На отрезке [a, b] необходимо найти функцию g(x), которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Сплайн g(x) классу c²(a,b), т.е. непрерывны на отрезке [a,b], график g(x) не имеет острых углов (т.к. непрерывна), радиус кривизны определен в каждой точке.

2. На каждом участке g(x) является кубическим полиномом III степени, т.е. ,

где a_i(k) – коэффициенты сплайна, которые определимы из дополнительных условий: – номер сплайна.

3. выполняется основное условие интерполяции:

4. вторая производная g''(x) удовлетворяет граничным условиям. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Довольно часто используется условие свободных концов сплайнов, а именно g''(a) = g''(b) = 0.

В результате построения с соблюдением всех условий будем иметь

Для определения неизвестных m₀…m_n используем непрерывность В результате получим систему для определения m_k с n-1 уравнением и n+1 неизвестными. Её нужно доопределить для однозначного решения. Дополняем систему граничными условиями, например условиями свободных концов сплайна m₀ = m_n = 0.

Получаем систему n-1 уравнения с n-1 неизвестными:

 

 

В матричном виде систему можно записать следующим образом:

,

где

Матрица А – неособенная матрица, система для определения m имеет единственное решение, следовательно, сплайн-функция g(x) однозначно восстанавливается, т.е. задача о нахождении кусочно-кубической функции g(x) имеет единственное решение. Решение системы может быть найдено с помощью метода прогонки (частный случай метода Гаусса) или каким-либо другим способом.

Пример выполнения заданий