Введение. Физическим маятником называется любое твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси

 

Физическим маятником называется любое твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, то есть такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведённой длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника.

На рис. 1 точка O – след горизонтальной оси вращения, точка B – центр тяжести (следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции и центр тяжести совпадают).

 

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент , стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение модуля этого момента определяется соотношением

 

М = mgd sin j, (1)

 

где m – масса физического маятника, d – кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, j – угловое отклонение маятника, отсчитываемое от положения равновесия. Угловое отклонение φ можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого определяется направлением поворота тела из положения равновесия в заданное положение по правилу правого винта.

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки.

Тогда формула (1) примет вид

 

М = – mgd sin j. (1.а)

 

При малых углах φ можно принять sin j» j, если j выражен в радианах, и записать формулу (1.а) следующим образом:

 

М = – mgd j. (2)

 

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

М = J b, (3)

 

где J – момент инерции тела относительно оси вращения; а β – угловое ускорение, причем β = = .

Подставляя в формулу (3) выражение M из формулы (2), получим уравнение движения маятника

+ j = 0. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

 

j(t)=j₀ cos (w₀ t + a₀), (5)

где, w₀ = , а j₀ и a₀– постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины j₀ и (w₀ t + a₀) называют соответственно амплитудой и фазой колебания, a₀ – начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина ω₀ называется циклической собственной частотой колебания. По истечении времени T = фаза получает приращение 2p, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина T называется периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

 

T _Ф = 2p , (6)

 

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

T _М = 2p .

 

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

 

l = = l _П. (7)

 

Это и есть формула приведённой длины l _П физического маятника.