Линейный осциллятор в присутствие линейной диссипации.

Сила вязкого трения:

Канонический вид колебаний:

- линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.

Общий способ решения. Ищем решение в виде: . Подставляем в уравнение:

- характеристическое уравнение для исходного дифференциального уравнения.

Решения характеристического уравнения:

Случай малой диссипации: < :

Общее решение дифференциального уравнения:

Положим . Для вещественности величины необходимо и достаточно, чтобы . В результате решение уравнения приобретает вид:

Константа - начальная амплитуда.

Графики.

 

Функция не является строго периодической, но она имеет периодический множитель. Условный период – период изменения этого множителя: .

Можно считать периодом интервал времени между последовательными прохождениями положения равновесия в одном направлении. Условный период больше, чем период собственных колебаний соответствующего консервативного осциллятора (осциллятора в отсутствие силы трения).

Условный период по-прежнему не зависит от амплитуды колебаний, так что свойство изохронности колебаний сохраняется и при наличии линейной диссипации.

Случай слабого затухания:

При относительная разность частот 5%.

Характеристики затухания колебаний.

1. - постоянная затухания колебаний;

2. - время жизни колебаний – время, в течении которого амплитуда уменьшается в раз. В рамках линейного диссипативного осциллятора колебания продолжаются бесконечно долго. Сухое трение делает это время конечным

3. - натуральный логарифм отношение максимальных последовательных отклонений. Обратная величина определяет, сколько циклов колебаний совершит система за время ее жизни .

Поскольку величина постоянная, последовательность значений:

представляет собой убывающую геометрическую прогрессию с периодом < . При . Амплитуда уменьшается очень медленно.

4. - добротность осциллятора.

Все безразмерные характеристики используют сравнение с «собственной единицей времени» осциллятора - его периодом.

Затухающие колебания на фазовой плоскости – скручивающая спираль с постепенно сгущающимися витками. Спирали отвечающие разным начальным условиям нигде не пересекаются (это обеспечивает теореме существования единственности).

Сильная диссипация > . . Оба значения отрицательны. Неколебательные режимы. .

Графики возможно поведения отклонения от состояния равновесия демонстрируют либо монотонное приближение к состоянию равновесия, либо единожды (!) прохождение через состояние равновесия.

.

 

Критический случай: .

В этом затухание колебаний происходят наиболее быстро. Благодаря этому своему свойству, ситуацию критического затухания вводится искусственно во многие устройства. В измерительных приборах для уменьшения время колебаний стрелки и его быстрого установление на нужное деление, соответствующее измеряемой величине. В автомобилях эту «успокаивающую» роль играют амортизаторы. Без их использования автомобиль бы долго качался на пружинах подвески после прохождении каждой кочки или ямки. Это неприятно для пассажиров и опасно для самого автомобиля, поскольку в моменты колебаний уменьшается сцепление с дорогой. Амортизаторы играют роль вязкого трения, коэффициент затухания стараются пообобрать так, чтобы создавалась критическая ситуация.

Фазовые диаграммы.

Рис. «а» < Рис. «b» > Рис. «c» (критический режим)