РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Точка С – середина отрезка AB, а О – произвольная точка на плоскости (рис. 6). Доказать, что .

Доказательство:

По правилу треугольника , . Складывая эти равенства, получаем:

.

Так как точка С – середина отрезка АВ, то . Таким образом, , или .

2. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

Дано:

ABCD– трапеция

M– середина AВ

N– середина СD

Рис.15.

Доказать: MN || AD.

 

Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы и коллинеарны

Решение.

1) Согласно рассмотренной задаче 1 .

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

MN = (AD + BC).

3. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m: n, то есть найти точку M принадлежит AB, такую, что AM: MB = m: n.

Рис.3

Решение:

Очевидно, что M принадлежит AB делит отрезок AB в заданном отношении m: n тогда и только тогда, когда Кроме того,

Отсюда

Подставляя в исходное соотношение, имеем

откуда находим

В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам

где и – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем

Таким образом, мы векторным путем получили результаты.

 

 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

4. Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .