Решение. Пусть , , - медианы треугольника

Пусть , , - медианы треугольника (рис.8). Тогда , , . Сложив эти равенства, получим

Отсюда следует, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

 

5. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Рисунок 11

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то

Следовательно,

Но коллинеарен вектору , поэтому Тогда

то есть коллинеарен что и требовалось доказать.

 

ЗАДАЧИ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ

6. Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Дано:

ABCDЕ– пятиугольник

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE

P и Q – середины отрезков KM и LN

Доказать PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Решение.

Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3

.

Аналогично,

.

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

7. В параллелограмме дано: и ; , ; , . Выразить векторы и через и .

Решение

Пусть - параллелограмм (рис. 12), в котором , , , , , .

Выразим через и . , .

Тогда .

,

,

.

,

,

, ,

 

8. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM: MD = BN: NC == 3:4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

 

Доказательство. Пусть K ₁ – середина AB, K ₂ – середина MN, K ₃ – середина CD. Согласно соотношению 8 имеем

.

Из условия следует, что ,

поэтому .

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K ₁, K ₂ и K ₃ лежат на одной прямой.

9. В трапеции ABCD точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Докажите, что точка О пересечения диагоналей AC и BD лежит на прямой MN.

Доказательство.

Рис.23.

Для того, чтобы доказать, что достаточно доказать, что и коллинеарны.

Для этого нужно разложить векторы и по базисным векторам.

В качестве базисных векторов возьмём = = . По соотношению 3

Из подобия треугольников BOC и AOD:

Значит k=n, т.е. , ,

, значит .

10. На катетах прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С построены квадраты АСQP и BCRS. Точка М- середина гипотенузы АВ. Доказать, что отрезки СМ и QR перпендикулярны.