В пространстве. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через . Получим прямо-угольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов находим . А так как , , то

Но , , .

Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , и .

Тогда получаем

. (1.2)

Формула (1.2) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , и называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (1.2) часто записывается в символическом виде: .

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать , т.е.

.

Отсюда

, (1.3)

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.