В пространстве. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые Выберем произвольный вектор
Найдем проекции вектора
Но Обозначим проекции вектора Тогда получаем
Формула (1.2) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа Зная проекции вектора
Отсюда
т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. Пусть углы вектора
Или,
Числа Подставляя полученные косинусы в выражение квадрата модуля вектора
Сократив на
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Легко заметить, что координаты единичного вектора Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
|
соответственно.
пространства и совместим его начало с началом координат: 
.
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через 
. Получим прямо-угольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор 
, 
, 
. По определению суммы нескольких векторов находим 
. А так как 
, 
, то
, 
, 
.
, 
и 
, т.е. 
, 
и 
.
. (1.2)
.
, т.е.
.
, (1.3)
, 
, 
.
, 
, 
. (1.4)
называются направляющими косинусами вектора 
.
, получаем соотношение
, (1.5)
являются числа 
.
