Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы векторов





 

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что

. (2.1)

Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

 

Определение 2.1. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (2.2)

Определение 2.2. Если равенство (2.2) возможно лишь в случае, когда , то система называется линейно независимой.

 

Рассмотрим ряд теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 2.1. Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 2.2. Если и - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде

. (2.3)

Теорема 2.3. Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 2.4. Если векторы , и некомпланарны, то любой вектор можно единственным образом разложить по ним, т.е.

. (2.4)

Теорема 2.5. Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.

 

Назовем векторы ,

,

,

…………………..

единичными векторами n -мерного пространства.

Отметим, что система единичных векторов n -мерного пространства линейно независима.

Теорема 2.6. Любой вектор n -мерного пространства является линейной комбинацией единичных векторов этого пространства, т.е.

.

Таким образом, всякий вектор n -мерного пространства равен сумме произведений его координат на соответствующие единичные векторы.

 

Пример 2.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

.

Решение. Составим их линейную комбинацию:

или

.

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

.

Найдем ранг системы. Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

Так как , то система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевой. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: . Значит, , т.е указанная система векторов линейно зависима.

,

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 436. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия