Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы векторов





 

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что

. (2.1)

Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

 

Определение 2.1. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (2.2)

Определение 2.2. Если равенство (2.2) возможно лишь в случае, когда , то система называется линейно независимой.

 

Рассмотрим ряд теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 2.1. Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 2.2. Если и - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде

. (2.3)

Теорема 2.3. Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 2.4. Если векторы , и некомпланарны, то любой вектор можно единственным образом разложить по ним, т.е.

. (2.4)

Теорема 2.5. Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.

 

Назовем векторы ,

,

,

…………………..

единичными векторами n -мерного пространства.

Отметим, что система единичных векторов n -мерного пространства линейно независима.

Теорема 2.6. Любой вектор n -мерного пространства является линейной комбинацией единичных векторов этого пространства, т.е.

.

Таким образом, всякий вектор n -мерного пространства равен сумме произведений его координат на соответствующие единичные векторы.

 

Пример 2.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

.

Решение. Составим их линейную комбинацию:

или

.

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

.

Найдем ранг системы. Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

Так как , то система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевой. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: . Значит, , т.е указанная система векторов линейно зависима.

,

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 436. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия