Линейные операции над векторами

Линейные операции над векторами

 

В математике и ее приложениях различают два типа величин: скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, масса, работа и т.д. Другие величины, такие как скорость, ускорение, сила, определяются не только своим численным значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B.

Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору обозначается .

Модулем или длиной вектора называется длина отрезка и обозначается .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Два вектора и называются равными, если: а) они коллинеарны; б) одинаково направлены; в) длины их равны. Например, Равные векторы называют также свободными. Свободные векторы можно перемещать параллельно самим себе.

Для свободных векторов определены линейные операции сложения, вычитания и умножение вектора на действительное число.

Суммойдвух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что вектор отложен из конца вектора .

Вектор получается по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой n векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора , конец – с концом последнего при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего . Указанный способ построения суммы конечного числа n векторов называется правилом замыкающей. Например, на рисунке изображена сумма трех векторов

Разностьюдвух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор , т.е.

, если .

Можно вычитать векторы по правилу: , т.е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью.

Произведением вектора на действительное число (скаляр) l называется вектор

,

удовлетворяющий условиям: 1) ; 2) и одинаково направлены при l>0; 3) и имеют противоположные направления при l<0.

Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид

Очевидно, , если l=0 или .

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то . Наоборот, если , (), то при некотором l верно равенство ;

2) всегда , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. , т.е. сложение векторов коммутативно;

2. , т.е. сложение векторов ассоциативно;

3. ;

4. ;

5. , т.е. умножение вектора на число ассоциативно;

6. ;

7. , т.е. умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел;

8. , т.е. умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов.

Множество всех векторов пространства (плоскости) с введенными выше операциями сложения векторов и умножения векторов на число, удовлетворяющими аксиомам 1. – 8., называется линейным или векторным пространством и обозначается .