Разложение вектора по базису

 

Определение 2.3. Базисом данной системы векторов называют такую подсистему, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.

В частности, базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Базисом на плоскости называются любые два независимых (неколлинеарных) вектора и этой плоскости, взятых в определенном порядке. Базисом в трехмерном пространстве называются любые три линейно независимых (некомпланарных) вектора , и . Векторы, составляющие базис, называются базисными. Базис принято обозначать следующим образом: .

Определение 2.4. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы, т.е. число векторов в базисе.

Для вычисления ранга системы векторов нужно по столбцам составить матрицу из координат этих векторов и вычислить ее ранг, который будет равен рангу этой системы векторов.

Пример 2.2. Найти ранг системы, состоящей из трех векторов:

.

Решение. Составим матрицу из координат этих векторов:

~

, следовательно, три вектора линейно зависимы и базис не образуют.

Так как , то из данной системы можно выделить подсистемы, состоящие из двух векторов:

, и .

Так системы и образуют базис, а базисом не являются, так как эти векторы коллинеарны.

,

Сформулируем следующее следствие, которое примем без доказательства.

Следствие. Система, состоящая более чем из n n -мерных векторов, линейна зависима.

Выше понятия базиса и ранга системы векторов были применены для систем, состоящих из конечного числа векторов. Но сформулированное следствие позволяет распространить их на системы с бесконечным числом векторов. Теперь мы можем быть уверены, что базис любой такой системы состоит из конечного числа векторов, не превосходящего n (размерности пространства). В частности, можно говорить о базисе и ранге системы всех n -мерных векторов, т.е. всего n -мерного пространства. Одним из базисов этого пространства является система единичных векторов .

Важное значение имеет следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 2.7. Любой вектор n -мерного векторного пространства разлагается по векторам базиса этого пространства и притом единственным образом, т.е.

. (2.5)

Числа в разложении (2.5) называются координатами вектора в данном базисе. Понятно, что один и тот же вектор в разных базисах имеет разные координаты.

Большое значение этой теоремы состоит в том, что на ее основе изучение бесчисленного многообразия векторов n -мерного пространства можно свести к изучению конечного множества векторов базиса.

 

Пример 2.3. Показать, что векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. 1) Убедимся, что векторы , и линейно независимы, т.е. векторное равенство возможно лишь при . Действительно,

.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений

Û .

Итак, векторы , и линейно независимы, значит, они образуют базис.

 

[ Чтобы убедиться, что векторы , и линейно независимы, можно составить определитель третьего порядка из координат этих векторов и показать, что этот определитель не равен нулю, т.е.

.

Мы тем самым показываем, что векторы , и не компланарны, а, значит, линейно независимы. ]

 

2) Пусть - координаты вектора в этом базисе, т.е.

.

Следовательно,

.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений

Û .

Итак, .

,