Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен .

1. Интегралы вида вычисляются следующим образом. Из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:

 

 

 

где , если и , если .

Далее сделаем подстановку , откуда , . Получим

.

Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

.

Сделаем подстановку . Тогда и

.

Возвращаясь к переменной х, получим

.

 

2. Интегралы вида вычисляются аналогично интегралам пункта 1 путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. В результате исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов вида 12, 13.

 

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен следующим образом: . Получим . Положим , тогда , . В результате получаем

= . Переходя к переменной х, получим

.

 

3. Интегралы вида и вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. Затем полученный интеграл разбивается на два: первый из этих интегралов можно вычислить, воспользовавшись формулами (2), (3), а второй интеграл является табличным.

 

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то по-ложим . Тогда и = [полученный интеграл разобьем на два] = . Второй из этих ин-тегралов – табличный: . Для нахождения первого воспользуемся следующим преобразованием дифференциала: . В результате получим = [воспользуемся формулой (3)] = . Окончательно имеем , где . Возвращаясь к переменной х, получим

.