Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен 1. Интегралы вида
где Далее сделаем подстановку
Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов. Пример 1. Вычислить интеграл Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
Сделаем подстановку
Возвращаясь к переменной х, получим
2. Интегралы вида
Пример 2. Вычислить интеграл Решение. Преобразуем квадратный трехчлен следующим образом: =
3. Интегралы вида
Пример 3. Вычислить интеграл Решение. Так как
|
.
вычисляются следующим образом. Из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:
, если 
и 
, если 
.
, откуда 
, 
. Получим
.
.
.
. Тогда 
и
.
.
вычисляются аналогично интегралам пункта 1 путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. В результате исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов вида 12, 13.
.
. Получим 
. Положим 
, тогда 
, 
. Переходя к переменной х, получим
.
и 
вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. Затем полученный интеграл разбивается на два: первый из этих интегралов можно вычислить, воспользовавшись формулами (2), (3), а второй интеграл является табличным.
.
, то по-ложим 
. Тогда 
и 
= [полученный интеграл разобьем на два] = 
. Второй из этих ин-тегралов – табличный: 
. Для нахождения первого воспользуемся следующим преобразованием дифференциала: 
. В результате получим 
= [воспользуемся формулой (3)] = 
. Окончательно имеем 
, где 
. Возвращаясь к переменной х, получим
.
