Ключевые понятия

 

Производная. Первообразная. Неопределенный интеграл. Интегрирование. Подынтегральная функция. Подынтегральное выражение. Переменная интегрирования. Интегральная кривая. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

 

 

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл

 

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции найти функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. . Искомую функцию называют первообразной для функции .

 

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если она дифференцируема на и для любого выполняется равенство

.

Например, функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении , т.е. выполняется равенство ; функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как в каждой точке .

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если является первообразной для функции , т.е. , то функция , где C – произвольная постоянная, также является первообразной для , так как . Например, для функции первообразной является не только функция , но и функция , так как . Таким образом, справедлива следующая теорема:

 

Теорема 1. Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где C – произвольная постоянная.

Определение 2. Множество всех первообразных функций для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом , где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования.

Таким образом:

,

где – некоторая первообразная для на интервале ; C – произвольная постоянная.

Например, поскольку функция является первообразной для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример 1. Проверить, что .

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

. Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , смещенных относительно друг друга вдоль оси . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.