Интегрирование тригонометрических функций. 1.Интегралы вида , где R – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональны

 

1. Интегралы вида , где R – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки (универсальная тригонометрическая подстановка).

Действительно, , , , . Тогда

,

где – рациональная функция от переменной .

 

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда , , . Следовательно:

[переходя к переменной x ] = .

 

2. Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул:

.

 

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Так как

, то

.

 

3. Интегралы вида , где и – четные числа, находятся с помощью формул:

; .

Если одно из чисел или – нечетное или оба этих числа – нечетные, то интеграл вычисляется непосредственно, путем отделения от нечетной степени одного множителя и введения новой переменной: , если – нечетное; , если – нечетное.

 

Пример 9. Найти интеграл .

Решение.

.

 

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

 

[так как ] = = [замена ] = = .

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

 

1. Найти интегралы:

 

a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

 

2. Найти интегралы:

 

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

3. Найти интегралы:

 

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) е)

ж) з) ; и)

к) ; л) .

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

 

2. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

 

3. Гусак А. А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

 

4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

 

5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

 

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ