Законы переменного тока.

Рассмотрим подключение цепей к источнику переменной ЭДС. Важность цепей переменного тока объясняется тем, что большое число генераторов переменного тока, вырабатывающих синусоидальное напряжение, производят основную часть всей электроэнергии в мире.

Резистор в цепи переменного тока

Источник переменной ЭДС вырабатывает синусоидальную ЭДС с частотой :

, (3.11)

где − амплитудное (пиковое) значение ЭДС.

Если к источнику переменной ЭДС подключен только резистор R (рис. 3.5 а), то согласно закону Ома, сила тока через резистор будет изменяться в соответствии с изменением ЭДС:

, (3.12)

где U − напряжение на резисторе в данный момент и согласно правилу Кирхгофа. Амплитудное значение силы тока равно .

Рис. 3.5. Резистор в цепи переменного тока: зависимость тока (а) и напряжение на резисторе (б)

Сила тока и напряжение изменяются в фазе: в те моменты времени, когда напряжение достигает наибольшего значения, сила тока тоже максимальна (рис. 3.5 б). В «положительные» полупериоды ток идёт в одном направлении, в «отрицательные» − в противоположном, так что среднее значение силы тока равно нулю. Однако это не означает, что мощность равна нулю и что резистор не выделяет тепло. Электроны в резисторе движутся то в одну сторону, то в другую, в результате чего выделяется тепло. Мгновенная мощность, рассеиваемая на резисторе R, равна

. (3.13)

Поскольку в выражение входит квадрат силы тока, мощность всегда положительна. Средняя мощность равна

. (3.14)

Для определения средней мощности важно не просто среднее значение напряжения или силы тока (равное здесь нулю), а среднее значение квадрата напряжения и силы тока: и . Извлекая из этих выражений квадратный корень, мы получим среднеквадратичное значение силы тока и напряжения . Среднеквадратичные значения напряжения и силы тока называют эффективными (или действующими значениями). Их можно непосредственно подставлять в формулы для вычисления средней мощности. Другими словами, мощность переменного тока равна мощности постоянного тока с эффективными значениями напряжения и силы тока.

Индуктивность в цепи переменного тока

На схеме (рис. 3.6 а) катушка индуктивности L подключена к источнику переменной ЭДС; ёмкостью катушки и её сопротивлением мы пренебрегаем. Следовательно

, (3.15)

или

. (3.16)

Чтобы найти силу тока, выразим из последнего равенства d I и проинтегрируем:

. (3.17)

Полученное выражение можно переписать в виде

,

где амплитудное значение силы тока

. (3.18)

Рис. 3.6. Катушка в цепи переменного тока (а), зависимость тока и напряжения на катушке (б)

Таким образом, по фазе сила тока отстаёт по фазе от напряжения на 90˚ (рис. 3.6. б).

Поскольку сила тока и напряжение сдвинуты относительно друг друга на 90˚, средняя мощность, рассеиваемая катушкой, равна нулю. Энергия источника поступает в катушку, где запасается её магнитным полем, а когда поле убывает, энергия возвращается источнику.

Таким образом, в среднем только резистор потребляет энергию источника тока и рассеивает её.

Можно написать соотношение между пиковыми значениями силы тока и напряжения на катушке

, (3.19)

величина − реактивное индуктивное сопротивление, также измеряется в омах.

Рис. 3.7. RL -цепочка

Переменный ток в RL-цепочке

Всякая реальная цепь обладает собственным активным сопротивлением, поэтому реальную цепь, содержащую катушку можно представить как цепь с последовательным соединением резистора R и катушки индуктивности L (рис. 3.7). Найдём полное сопротивление такой цепи, используя полученные выше результаты.

Пусть U_R и U_L − падения напряжения на соответствующих элементах цепи в один и тот же момент времени; U_0R и U_0L − пиковые значения напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе. Фазовые соотношения между силой тока и напряжением на каждом из элементов будут такими же, как для каждого элемента в отдельности: U_R совпадает по фазе с током, U_L опережает ток на 90˚. И в любой момент времени ЭДС источника e (или U) равна сумме напряжений на отдельных элементах:

. (3.20)

Будем считать, что мгновенное значение силы тока одинаково во всех точках цепи. Это допущение оправданно, если частота не слишком велика и соответствующая длина волны намного больше геометрических размеров цепи. Воспользуемся для решения этой задачи методом векторных диаграмм. Каждое напряжение представим в виде вектора в прямоугольной системе координат (х, y); длина вектора характеризует величину пикового напряжения на соответствующем элементе цепи, согласно (3.12) и (3.19) , а угол между вектором и осью х равен сдвигу фазы напряжения относительно тока (рис. 3.8).

Для удобства начальную фазу тока примем равной нулю:

. (3.21)

Итак, при t = 0 сила тока I = 0, и вектор, представляющий I ₀, расположен вдоль оси х и направлен в сторону положительных значений х, проекция вектора на ось y равна нулю. Напряжение на резисторе всегда совпадает по фазе с током, и вектор также будет направлен вдоль оси х в положительном направлении (при t = 0). Поскольку напряжение на катушке опережает ток по фазе на 90˚, вектор при t = 0 расположен в положительном направлении оси y (рис. 3.8 а).

Рис. 3.8. Векторные диаграммы для RL- цепочки

Представим теперь, что вся диаграмма вращается с угловой скоростью ω. Тогда спустя время t вектор повернётся на угол ωt (рис. 3.8 б). Проекция каждого вектора на ось y будет характеризовать падение напряжения на каждом элементе цепи в момент времени t.

Сумма проекций двух векторов на ось y равна проекции их суммы, но сумма проекций в любой момент равна мгновенному падению напряжения на всей цепи, которое совпадает с ЭДС источника e. Поэтому векторная сумма двух векторов равна пиковому значению ЭДС источника e ₀. Из рисунка видно, что вектор e ₀ составляет угол j с I ₀. Вектор e ₀ вращается вместе с другими векторами, и мгновенное значение ЭДС равно

. (3.22)

Мы видим, что напряжение источника сдвинуто по фазе относительно силы тока на угол . Из рис. 3.8 б следует, что

, (3.23)

где полное сопротивление цепи

. (3.24)

Из рис. 3.8 б можно найти и сдвиг фаз :

, или . (3.25)

Определим выделяющуюся в цепи мощность. Мы видели, что мощность рассеивается только на активном сопротивлении R; на реактивном сопротивлении катушки или конденсатора мощность не рассеивается. Следовательно, средняя мощность . Но , откуда

. (3.26)

Множитель называется коэффициентом мощности цепи. Для чисто активного сопротивления = 1. Для чисто реактивного сопротивления = 0, и рассеиваемая мощность равна нулю.