Интегрирование тригонометрических функций.

I.

1) m - чёт.: cos x = t

n - нечёт.: sin²x = 1- cos²x

2) m - нечёт.: cos²x = 1- sin²x

n - чёт.: sin x = t

3) m - чёт.:

n - чёт.:

 

4) m - нечёт.: cos²x = 1- sin²x

n - нечёт.: sin x = t

II. ;

Обязательно отделяется tg²x или ctg²x:

III.

Действует унив-ная триг-кая подстановка:

; ;

x = 2arctg t;

 

IV. ; ;

sinα*cosβ=1/2(sin(α+β)-sin(α-β))

cosα*cosβ=1/2(cos(α-β)+cos (α+β))

sinα*sinβ=1/2(cos(α-β)-cos(α+β))

 

Пределы:

I. Неопределённость :

1) если степени чис-ля и зн-ля равны, то предел

равен отношению коэфицентов при степенях.

2) если степень чис-ля > зн-ля, то предел = ∞.

3) если степень зн-ля > чис-ля, то предел = 0.

II. Неопределённость :

Необходимо чис-ль и зн-ль разложить на

множ-ли, при этом должно присутствовать

выражение x-a (а-число, к которому стрем-ся х).

1-ый замечательный предел:

 

2-ой замечательный предел:

 

Достаточные признаки сходимости числовых рядов:

1) 1 признак сравнения: Пусть даны два ряда U_n и V_n, причем эл-ты 1 не превосходят эл-тов 2, тогда:

Если ряд 2 сход-ся, то и ряд 1 сход-ся

Если ряд 1 расход-ся, то и ряд 2 расход-ся

2) 2 признак сравнения: Если для рядов U_n и V_n сущ-ет предел , то ряды одновременно сход-ся или расход-ся

 

3) признак Даламбера: Если сущ-ет предел

то, если D>1- ряд расх-ся; D<1 - ряд сходится;

D=1 -?

 

4) радикальный признак Коши: Если сущ-ет предел

k>1 - ряд расх-ся; k<1 - ряд сход-ся; k=1 -?

 

5) интегральный признак Коши: Пусть дан ряд U_n, в котором U₁≥U₂≥…≥U_n…., тогда ряд сход-ся, если в рез-те решения данного интеграла получ-ся число и расх-ся, если получ-ся ∞.

 

Основные виды сходящихся и расходящихся рядов:

1) геометрический ряд:

|q|<1- ряд сход-ся

|q|≥1- ряд расход-ся

 

2) гармонический ряд:

- ряд расход-ся

 

 

3) обобщённый геометрический ряд:

α>1- ряд сход-ся

α≤1- ряд расход-ся