Определенный интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Определение. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: .

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: , то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки: , . Таким образом, имеем .

Пример 23. Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Пример 24. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 25. Вычислить определенный интеграл: .

.

Пример 26. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 27. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: положим , тогда , . Вычисляем новые пределы интегрирования: , . Поэтому

.

Пример 28. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: преобразуем подкоренное выражение: . Положим , откуда . Найдем новые пределы интегрирования: , . Следовательно,

.