Производная сложной функции

Пусть , где является не независимой переменной, а функцией независимой переменной , т.е. . Таким образом, .В этом случае функция называется сложной функцией ,а переменная - промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С – постоянная, и функции аргумента

1.	4.	7.
2.	5.
3.	6.
Основные элементарные функции	Сложные функции
1		8а
2		9а
3		10а
4		11а
5		12а
6		13а
7		14а
8		15а
9		16а
10		17а
11		18а
12		19а
13		20а

 

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8:

Пример 7. Найти производную функции .

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

.

Пример 8. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

Пример 9. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 8а и 13, имеем: .

Вычислим значение производной при .

.

Пример 10. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

.

Пример 11. Найти производную функции .

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 12. Найти производную функции .

Решение: полагая , получим .

Пример 13. Найти производную функции .

Решение.

Производные высших порядков

Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислять производную, то получим производную вто­рого порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее пер­вой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов: , , .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: , , .

Пример 14. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную: .

Пример 15. Найти вторую производную функции

Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную: