Комплексные числа.Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Кировский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения Высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (Кировский филиал МИИТ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Для реализации программы дисциплины
«Математика» Контрольная работа №1
для специальности 190623 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог
заочное отделение
базовая подготовка среднего профессионального образования
(приложение к программе)
Киров
Методические указания выполнения контрольной работы для реализации программы дисциплины «Математика» для студентов заочного отделения рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии общепрофессиональных и математических дисциплин Кировского филиала МИИТ
Протокол № от ___________20 г. Председатель ЦК _______________________ Малышева Э.Ф.
Автор методических указаний для реализации программы дисциплины «Математика» по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения – преподаватель Кировского филиала МИИТ
Рязанова М.В. _______________ (дата, подпись)
Внутренний рецензент методических указаний для реализации программы дисциплины «Математика» по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения - преподаватель Кировского филиала МИИТ
Фоминых В.В. ______________ (дата, подпись)
Пояснительная записка. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин. После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями. Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Методические указания Комплексные числа. Числа вида В электротехнике, где буква Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Пример 1. Пусть
На множестве комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицательный. Пример 2. Решите уравнение Находим дискриминант: Находим корни: Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке
Угол, образованный радиус-вектором числа Величину угла I. Из системы уравнений II формуле Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы ‒ это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.
Замечание. При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения Для отыскания аргумента ( Таблица 1.
 ,  ,  ,  ,  в тригонометрической и показательной форме.
Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
Находим модуль и аргумент у каждого числа:
Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа Для возведения комплексных чисел в степень используют формулу Муавра: Пример 5. Вычислите Решение. Находим тригонометрическую форму числа
По формуле Муавра
Можно представить данное комплексное число в алгебраической форме
Для извлечения корня из комплексного числа используют формулу
Извлечение квадратного корня из комплексного числа
Что равносильно системе Решая эту систему, получаем: Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле
В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если Пример 5. Найдите Решение. Запишем число
Тогда При При При При Пример 6. Решите уравнение Решение. Находим дискриминант: Найдем Теперь находим корни квадратного уравнения
|
, где 
– действительная, 
‒ мнимая части комплексного числа и 
действительные числа, называются комплексными числами. 
), а 
) комплексного числа.
обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой 
.
, 
. Тогда:
,
,
,
.
, 
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат 
. Каждому комплексному числу 
можно сопоставить точку с координатами 
, и наоборот, каждой точке с координатами 
можно сопоставить комплексное число 
. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.
Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа 
, 
, 
, 
, 
.
, а именно, комплексное число 
изображается радиус-вектором точки с координатами 
. В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:
Пусть комплексное число 
и обозначается 
или 
. Из рисунка очевидно, что 
.
, называется аргументом числа 
или 
. Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 
. Обычно аргумент указывают в диапазоне от 
до 
аргумент не определен.
,
, где 
‒ тригонометрическая форма,
‒ комплексная форма.
и 
, иначе мы потеряем явное указание аргумента 
НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.
, 
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
, 
, 
табличного значения нет, поэтому для определения аргумента воспользуемся вторым способом. 
, так как 
то 
. Получаем 
.
, 
,
, 
, 
, если z 
.
, 
где 
.
, где 
и 
– действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
.
.
, 
.
.
, и знак минус, если 
.
, если 
.
, 
где 
получим: 
получим: 
получим: 
получим: 
.
.
, 
, так как 
то в скобках перед мнимой единицей берем знак плюс. Следовательно 
.
