Общее решение исходного уравнения в соответствии с формулой (2) имеет вид

(3)

Найдем входящие в это решение интегралы. Имеем

где знаки появляются в силу равенства Подставляя

найденные интегралы в решение (3), окончательно получаем общее решение исходного уравнения:

Из него выделяем частное решение, соответствующее начальному условию у(-2)=2:

◄

Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду

(4)

Его общее решение находится по формуле

(5)

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения

►Данное уравнение является линейным относительно функции х(у). Действительно,

т.е. получили уравнение вида (4). Согласно формуле (5), общее решение исходного уравнения имеет вид



Отметим, что линейное дифференциальное уравнение (1) можно также проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Введем две неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда Подставим выражение для и в уравнение (1), получим уравнение которое преобразуем к виду

Пример 4. Проинтегрировать уравнение

методом Бернулли и решить задачу Коши при начальном условии .

►Сделав подстановку Бернулли получим:

Находим частное решение уравнения

Пологая выбираем решение Далее ищем общее решение уравнение Имеем:

Общее решение исходного уравнения

Из него выделяем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: Подставляя значение С=-1 в общее решение, окончательно получим: ◄