Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнения вида (7) называется уравнением в полных дифференциалах, если в области D определения функций P(x,y), Q(x,y) и существования решений уравнения (7) выполняется равенства

(8)

Общее интеграл уравнения (7 ) определяется одной из следующих формул:

(9)

(10)

где точка .

Пример 3. Найти общее интеграл уравнения

►Ведем обозначения Так как т.е. условие (8) выполнено, то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Его общий интеграл можно найти по формуле (9) или (10) , положив для простоты Выбор этих значений , допустим , так как функции и их частные производные определены, т.е. точка По формуле (8) имеем:

По формуле (10) получаем общий интеграл:

который совпадает с уже найденным .◄

Аудиторное занятие

1. Указать типы дифференциальных уравнений и методы их решения:

а) ; б)

в) г)

д) е)

ж)

з)

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

a)

б)

в)

( Ответ а) )

3. Решить задачу Коши:

a)

б)

в)

(Ответ : а) б) в) )

Домашнее задание

Решить задачу Коши.

1. а)

(Ответ : a) )

2. a)

б)

(Ответ: a) )

3. a)

б)

(Ответ : a) )

4. Решить задачу Коши :

(Ответ: )

5. 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(Ответ: )

6. Найти частное решение дифференциального уравнения ( Ответ : )

Литература

1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1-3. Под редакцией Рябушко А.П., Минск: Вышейшая школа, 2001г.

2. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я., М.: Высшая школа,1986 г.

3. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П., М.: Наука, 1986г.

4. Кузнецов Л.А.Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1983 г.