Сходимость положительных рядов.

Это ряды, члены которых неотрицательны.

, ,

 

Тогда т.е. – возрастающая последовательность.

По теореме о пределе монотонной последовательности следует:

Утверждение. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма будет конечной (и следовательно, ряд будет сходиться), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд расходиться) в противном случае.

(Все признаки сходимости положительных рядов основаны на этой теореме).

Теоремы сравнения рядов. Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.

Теорема 1 (первая теорема сравнения). Пусть даны два положительных ряда

(А), (В)

Если, хотя бы начиная с некоторого номера выполняется , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Теорема 2 (вторая теорема сравнения). Если существует , то из сходимости ряда (В) при вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (В) при вытекает расходимость ряда (А).

Таким образом, при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Теорема 1 (Признак Даламбера). Пусть дан ряд , ,

Тогда, если существует предел

То 1) ряд сходится в случае

2) ряд расходится в случае

 

В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение.Так как , тогда

.

Ряд сходится.

Теорема 2. (Признак Коши). Рассмотрим ряд , ,

Если существует предел

То, 1) в случае ряд сходится;

2) в случае ряд расходится.

В случае признак не работает, требуется дополнительное исследование.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как , то применяя признак Коши

.

Поэтому данный ряд сходится.