Числовые ряды

Практическое занятие 8-2часа

Числовые ряды. Знакопостоянные ряды

Числовые ряды

Рассмотрим числовую последовательность (1)

Формально образуем выражение вида

(2)

Определение. Выражение (2) называется числовым рядом или просто рядом, элементы называются членами данного ряда.

Определение. Сумма конечного числа первых членов ряда называется ой частичной суммой ряда. Обозначим

Рассмотрим последовательность частичных сумм

… (3)

…

Определение. Ряд (2) называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм этого ряда, т.е. если существует конечный предел последовательности частичных сумм. При этом предел (конечный или бесконечный) последовательности частичных сумм называется суммой ряда.

Таким образом, для сходящегося ряда, имеющего сумму можно формально записать . В противном случае, если , либо предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Таким образом, сходимость ряда (2) равносильна существованию конечного предела последовательности частичных сумм (3).

Пример 1. Исследовать сходимость ряда и найти его сумму.

Решение. , это -ая частичная сумма ряда.

,

если , тогда , если , тогда .

Итак

.

Тогда .

Таким образом, сумма ряда равна .

 

Пример 2.

Геометрическая прогрессия

, (4)

- частичная сумма (если )

если (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), то т.е.

при эта прогрессия дает пример расходящегося ряда

 

если , то , в остальных случаях суммы вовсе нет.

, 1-1+1-1+…

его частичные суммы попеременно =1 или =0.

Пример 3.

Гармонический ряд расходится, хотя .

Пример 4.

(8)

такой ряд называется обобщенным гармоническим рядом.. Если , тогда ряд сходится, а если , ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

Теорема. Общий член сходящегося ряда стремиться к 0.

Следствие. Если общий член ряда не стремиться к 0 при , то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным, т.е. из того, что не следует, что ряд сходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Общий член ряда .

Тогда , то есть ряд расходится, так как нарушено необходимое условие сходимости ряда.