ПРИМЕР 1

Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры которых: d_x = 2; = 0,8; d_y = 3; = 1,1.

Доход от портфеля: А = 2а_х + 3 а_у. Таким образом, доход в зависимости от величины долей находится в пределах 2 А 3.

Дисперсия суммы дохода составит:

.

Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (4.5) и (4.6):

А = 2,7и D = 0,669 + 0,185 r_xy.

Таким образом, при полной положительной корреляции D = 0,854, при полной отрицательной корреляции D = 0,484. В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что суммарный доход находится в первом случае в пределах

во втором он определяется пределами

.

При нулевой корреляции доходов пределы составят

.

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции[21]. Для этого заменим в портфеле бумагу Y с параметрами d_y, на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дохода портфеля теперь зависят от удельного веса безрисковой составляющей:

(4.9)

Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если d_x > d_y (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от d_x до d_y, авеличина квадратического отклонения сокращается от до 0 (рис. 4.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.

Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (4.10):

A = d_y + (d_x - d_y) a_x. (4.10)

 

Рис. 4.7

В свою очередь, на основе (4.9) находим

.

В итоге получим интересное соотношение

. (4.11)

Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.