ПРИМЕР 2. Вернемся к данным примера 1 и определим структуру портфеля с минимальной дисперсией

Вернемся к данным примера 1 и определим структуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что = 0,8; = 1,1.

При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (4.15)

.

Соответственно а_у < 0. Следовательно, минимальная дисперсия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бумаги вида X. Средний доход от портфеля равен 2.

При полной отрицательной корреляции находим

а_x = = 0,579;

a_y = 1 - 0,579 = 0,421.

Дисперсия в этом случае равна нулю (рис. 4.4), а средний доход составит 2,421.

При отсутствии корреляции получим по формуле (4.12)

а_х = 0,654; а_у = 1 - 0,654 = 0,346.

Дисперсия дохода при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход — 2,346.

Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг — X, Y, Z. Их доли а_х, а_у и a_z = 1 - (a_x + a_y).Дисперсия дохода от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит:

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

Не будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с n составляющими. Положим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства (см. § 4.4) и приведем результат в матричном виде:

A = D ^-1 e, (4-17)

где e — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля.

где А — вектор, характеризующий (п - 1) элементов структуры портфеля.

Матрица D имеет размерность (n - 1) х (п - 1).