Определение сейсмических нагрузок для систем со многими степенями свободы. Подставляя (10-а) в (10) получаем

Подставляя (10-а) в (10) получаем

(10-б)

или с учетом (9)

 

Сопоставляя полученный результат с предпоследней лекцией

Теперь

Введем коэффициент : . (11)

 

Установим его физический смысл, просуммировав эти коэффициенты по всем формам:

.

Таким образом, - нормированный коэффициент формы колебаний – это коэффициент, определяющий вклад смещения к-й массы, происходящий по i-й форме, в суммарное смещение.

Перепишем (11) в другой форме: (12)

Эта формула отличается от формулы линейного осциллятора коэффициентом η _ik < 1. Тогда, повторяя все выкладки лекции о линейном осцилляторе, получим формулу СНиП: Сейсмическая нагрузка приложенная в точке k, соответствующая i-му тону колебаний, определяется формулами

, (13)

где коэффициент динамичности, соответствующий i-му тону колебаний.

 

Определение внутренних усилий

Казалось бы, далее все просто, зная , можно построить эпюры внутренних усилий N_i (M, Q, N) однако максимальные значения сейсмических сил по формулам (13) достигаются в различные моменты времени. Задача эта непростая. В нормах принято среднеквадратичное значение усилий

, (14)

где n – число учитываемых форм колебаний.

Нормы требуют учета и только 1 форму, если . Для ответственных зданий необходимо учитывать

Алгоритм расчета

Представленный алгоритм описывает последовательность расчета по нормам СНиП при ручном расчете, а также при расчете на ЭВМ практически по любой программе.

· Определяются частоты и формы колебаний для выбранных n форм.

· Вычисляются параметры

· Для каждой i-й частоты определяются сейсмические силы , приложенные к k-й массе и эти силы считаются как внешние силы для i-го варианта загружения.

· Производится статический расчет для n вариантов загружений от найденных сил .

· Определяются расчетные усилия .

Результаты расчетов

· Выводятся сейсмические силы и формы колебаний для каждой частоты собственных колебаний.

· Выводятся на экран расчетные усилия M, Q, N по первому варианту загружения, причем, поскольку все расчетные усилия только положительны, не следует ожидать равновесия усилий в узлах.

Расчет на воздействие акселерограмм

Основан на использовании записей ускорений основания (акселерограмм) при землетрясениях, наиболее опасных для рассматриваемых сооружений, а также синтезированных акселерограмм, полученных путем обработки записей сильных землетрясений.

СНиП предусматривает обязательный расчет по нормам для всех зданий и сооружений, но вместе с тем для ответственных и высоких, выше 16 этажей зданий и сооружений, предписывается расчет на воздействие акселерограмм.

1) Первый подход – непосредственное вычисление сейсмических сил.

Теоретически, по формуле (12) ,

Где Вычисление интеграла Дюамеля можно произвести с помощью различных алгоритмов, простейший из них описан в книге Александрова и др. на стр. 53. Там функция внешнего воздействия представляется в виде кусочно-линейной, на каждом шаге интегрирования определяются перемещения и скорости, которые служат начальными для следующего шага.

2) Второй подход – численное интегрирование уравнений движения (7-а). Разработано множество методов, среди которых можно назвать методы Ньюмарка, Вилсона, Хаболта и другие. Здесь мы подробно рассмотрим метод Рунге-Кутта, который реализован в программе RADIUS, далее применяемой при решении конкретных задач сейсмического расчета.

Уравнения движения

представим в виде

Это система дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме. Рассмотрим процедуру метода Рунге-Кутта вначале на простейшем случае – уравнении первого порядка , тогда, в соответствии с рисунком

(15)

Это метод Эйлера, или метод Рунге-Кутта первого порядка, т.к. он соответствует разложению кривой q(t) в ряд Тэйлора по степеням ∆ t и удержания первого линейного члена ряда. Погрешность имеет порядок ∆ t², что записывается как О (∆ t²). По формуле (15) находим следующую точку, вычисляя один раз функцию . Недостаток – с увеличением числа шагов быстро накапливается погрешность e₁.

Мы в программе используем метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором переход от t_k к t_k+1 выполняется по формулам

(16)

Где .

При этом требуется четыре раза вычислять функцию F.

Геометрически формула (16) выражает переход от точки k к точке k+1 с помощью секущей, проведенной с крутизной f (тангенс угла наклона), которая получена как среднее из f₁ – f₄, вычисленных в 4-х точках 1 – 4. Погрешность формул (16 ) О (∆ т⁵), т.е. значительно меньше, чем у формулы (15).

Если вместо одного уравнения система уравнений первого порядка, то - векторы.

Таким образом, в каждый момент времени получаем q_i(t), а затем по формуле (10-б) вычисляем сейсмическую силу, соответствующую k-й массе при колебаниях по i-й форме.

Существуют и другие методы (так называемые методы линейного ускорения) – методы Ньюмарка, Вилсона и т.д. – см. рекомендованные книги Александрова, Bathe, Wilson.

Итак, подводим итог: дана система уравнений

Где , матрицы масс, демпфирования, жесткости,

Z – вектор перемещений. Считаем, что вектор задан в глобальной системе координат. Тогда осевые компоненты

(17)

Здесь i, j, k – орты координатных осей.

С помощью метода модальной суперпозиции получаем разделение уравнений

На каждом шаге по времени для каждой формы колебаний находим сейсмические силы для каждой массы по формуле (10-б), после нахождения методом Рунге-Кутта.

 

Выбор шага по времени

Метод Рунге-Кутта условно устойчивый, т.е. его точность зависит от величины шага по времени. Рекомендуется , где - минимальный период учитываемых форм.

Алгоритм решения

· Формируется матрицы .

· Вычисляются частоты и формы свободных колебаний.

· Определяются обобщенные массы M_i и обобщенные нагрузки Q_i(t).

· Решаются уравнения (15) и для всех выбранных форм колебаний находятся обобщенные координаты q_i для каждого временного шага.

· Для каждого временного шага вычисляется вектор .

· Для каждого временного шага определяются внутренние усилия , где - вектор перемещений m-го элемента.

· На каждом временном шаге определяются нормы динамических перемещений - сумма модулей компонент перемещений.

· На момент времени t_k, когда , выводятся результаты расчета - перемещения и усилия.

· Строится выборка максимальных значений усилий по всем временным шагам для каждого сечения, строятся эпюры усилий. Равновесия в узлах ожидать не следует, т.к. в разных сечениях максимальное усилие появляется в разные моменты времени.