Пример расчета здания на сейсмическое воздействие

Рассчитать каркасное здание с шарнирным опиранием плит на 9-и балльное землетрясение. Грунты глинистые III-й категории, колонны 40х40 см, бетон В20 с модулем упругости Е=2, 7х10⁷КПа (кН/м²). Расчетное сопротивление R_бет=15 МПа.

Покрытие несет массу m=50 тонн, перекрытие – 2m=100 тонн. Вместо расчетной схемы можно для упрощения ручных расчетов принять модель в виде консольного стержня с суммарной жесткостью стоек 3EI.

Вычислим момент инерции колонны .

1. Определим частоты и формы свободных колебаний модели.

Составим вековое уравнение для определения частот колебаний 2-х массовой системы (две динамических степени свободы, инерционные силы I₁ и I₂):

 

	Умножая определитель на EI/m и обозначая если

 

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение относительно параметра λ:

 

Проверка: Найдем частоты собственных колебаний

 

 

Вычислим периоды колебаний

Определим формы колебаний, вспомнив, что компоненты векового уравнения - коэффициенты перед неизвестными амплитудами.

Первая форма: λ ₁=28, 92: Из первого уравнения: (24-28, 92)V₁₁+15V₁₂=0

Примем V₁₁=1, V₁₂=4, 92/15=0, 328.

Из второго уравнения: 7, 5·V₁₁+(6-28, 92)V₁₂=0

Примем V₁₁=1, V₁₂=7, 5/22, 92=0, 327.

Вторая форма: λ ₂=1, 08 Из первого уравнения: (24-1, 08)V₂₁+15V₂₂=0

Примем V₂₁=1, V₂₂=-22, 92/15=-1, 528.

Из второго уравнения: 7, 5·V₂₁+(6-1, 08, 92)V₂₂=0

Примем V₂₁=1, V₂₂=-7, 5/4, 92=-1, 524.

Запишем полученные формы:

Построим вычисленные формы колебаний

 

Проверим ортогональность полученных

форм:

 

 

Определение сейсмических сил и внутренних усилий.

Сейсмичекие силы, действующие на к-ю массу при колебаниях по i-й форме, в соответствии со СНиП II-7-81 определяются по формуле

,

Где K=K₁K_Ψ .

Принимаем K₁= 0, 25; K_Ψ =1; A =0, 4 (9баллов).

В рассматриваемом примере расчет производится в соответствии со СНиП II-7-81 для того, чтобы сравнить полученные результаты с компьютерным расчетом по программе RADIUS+.

Тогда ,

, 5,

Определяем коэффициенты форм:

.

Для 1-й формы колебаний

Для 2-й формы колебаний

Проверка правильности вычислешния коэффициентов :

Для 1-й массы

Для 2-й массы

 

Вычисляем сейсмические силы: .

 

1-я форма:

 

2-я форма:

 

Прикладываем найденные сейсмические силы к консоли и строим эпюры моментов и поперечных сил для первой и второй форм колебаний:

Расчетные усилия (кН·м) в сечениях согласно норм определяются по формуле (14):

Видим, что главный вклад в расчетное усилие дает первая форма колебаний.

Построим расчетные эпюры моментов для модели издания.