Определение сейсмических сил и внутренних усилий

Сейсмические силы, действующие на К -ую массу при колеба­ниях по i -ой форме, в соответствии со СНиП II-7-81* определя­ются по формуле (13), которую для удобства перепишем в виде:

, (26)

Где

Все входящие в формулу (26) величины были определены вы­ше. Для рассматриваемого примера принимаем K ₁ = 0, 25; K _ψ = 1; A = 0, 4.

Тогда:

К А = 0, 25× 1× 0, 4 = 0, 1.

Определяем коэффициенты динамичности для грунтов III кате­гории.

, , .

В соответствии с нормативными указаниями принимаем:

b₁ = 2, 24; b₂ = 2, 5; b₃ = 2, 5.

Зная амплитудные коэффициенты форм собственных колеба­ний, по формуле (11) находим коэффициенты форм h _{i K}.

Например, для первой формы колебаний имеем

:

Аналогично находим коэффициенты η _ik для второй и третьей форм

Проверяем правильность вычисления коэффициентов .

Например, для первой массы k = 1 имеем

1, 282 - 0, 337 + 0, 056 = 1, 001» 1 и т.д.

Теперь по формуле (3.21) легко вычислить сейсмические силы для каждой формы колебаний (кН):

S ₁₁ = 0, 224× 1, 282× 100× 9, 81 = 281, 7;

S ₁₂ = 0, 224× 1, 124× 200× 9, 81 = 493, 98;

S ₁₃ = 0, 224× 0, 688× 300× 9, 81 =453, 55.

и т.д. Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Используя метод перемещений, построим эпюры М ₁ и Q ₁ , соответствующие первой форме колебаний.

Для первой формы каноническая система уравнений метода перемещений (18) запишется в следующем виде:

Z ₁ - Z ₂ - 281, 7/ r = 0,

- Z ₁ +2 Z ₂ - Z ₃ - 493, 98/ r = 0,

- Z ₂ +2 Z ₃ - 453, 55/ r = 0.

Решение этой системы уравнений дает:

Z ₁ = 2286, 62/ r; Z ₂ = 2004, 92/ r; Z ₃ = 1229, 76/ r.

Таблица 1

i № формы	K № массы	b i	K A b i	h iK	, кH
				1, 282	281, 7
		2, 24	0, 224	1, 124	493, 98
				0, 688	453, 55
				-0, 337	-62, 65
		2, 5	0, 25	-0, 081	-39, 72
				0, 297	218, 51
				0, 056	13, 73
		2, 5	0, 25	-0, 044	-21, 57
				0, 013	9, 56

Используя эти данные, а также вычисляя значение параметра r с помощью введенных ранее жесткостных характеристик, строим исправленные эпюры, а затем эпюры М ₁ и Q ₁: M₁Z₁=2i·2286.62/4i/3=1.5·2286.62=3430.

 

 

Построение эпюр изгибающих моментов М ₁
и поперечных сил Q ₁ для первой формы колебаний

Эпюра М ₁ строится как сумма исправленных эпюр . Затем по обычным правилам строится эпюра Q ₁ , правильность построения которой определяется равенством скач­ков в этих эпюрах соответствующим сейсмическим силам.

Точно так же строятся эпюры изгибающих моментов и попе­речных сил для второй и третьей формы колебаний, которые при­ведены на следующем рисунке

 

 

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил
для второй и третьей форм колебаний

Определение расчетных значений внутренних усилий

1. Расчетные усилия (кН× м) в сечениях согласно существующих нормативных указаний определяются по формуле (15).

;

; (27)

.

Очевидно, что главный вклад при определении расчетных уси­лий в данном случае принадлежит первой форме колебаний.

Имея расчетные значения изгибающих моментов (27), можно построить эпюру изгибающих моментов расчетной схемы (рис. а). Будем считать, что в стойках (колоннах) изгибающие моменты пропорциональны их жесткостям, т.е. моменты расчетной схемы надо разделить на 4, т.е. на количество колонн. Тогда легко построить эпюру изгибающих моментов для заданной рамы (рис. б). Изгибающие моменты на ригелях можно получить из равновесия узлов на крайних стойках, а на средних – распределить пропорционально приведенных жесткостей примыкающих ригелей.

 

Эпюры изгибающих моментов для трехпролетного
трехэтажного здания с монолитными безбалочными перекрытиями

В заключение интересно оценить прочность рассматриваемой конструкции, подверженной сейсмическому воздействию.

Напряжения в колоннах первого этажа определяем по извест­ной формуле случая внецентренного сжатия (эффект продольного изгиба не учитывается):

. (28)

Геометрические характеристики сечения: площадь поперечного сечения А = 0, 09 м² ; момент сопротивления W = bh² /6=0, 0045 м³ .

Сжимающая сила F = 6 m g /4 = 6× 100× 9, 81 /4» 1500 кН.

Подставляя эти данные в формулу (28), имеем

s = -16666, 7 ± 102777 кН/м² .

Таким образом, максимальное значение расчетного напряжения s_max = - 119 МПа намного превышает прочность бетона на сжа­тие и, следовательно, при заданном сейсмическом воздействии произойдет разрушение конструкции. Кроме того, напряжения, вы­званные сейсмическими силами, превышают статические напряже­ния в раза.