Операции с кванторами

Пусть имеется предикат х< у, где х, у R. Рассмотрим всевозможные варианты навешивания кванторов по каждой из переменных.

1) ( х) ( у) (х < у) – для любого х и любого у имеем х < у - ложно.

2) ( у) ( х) (х < у) – для любого у и любого х имеем х < у - ложно.

3) ( х) ( у) (х < у) – для любого х существует у такой, что х < у, т.е. наибольшего числа нет - истинно.

4) ( у) ( х) (х < у) – существует у для любого х, что х < у, т.е. есть наибольшее число. - ложно.

5) ( у) ( х) (х < у) – существует х и существует у, что х < у - истинно.

6) ( х) ( у) (х < у) – существует у и существует х, что х < у истинно.

7) ( х) ( у) (х < у) – существует х для любого у, что х < у, т.е. есть наименьшее число - ложно.

8) ( у) ( х) (х < у) – для любого у существует х, что х < у, т.е. наименьшего числа нет - истинно.

Таким образом, видим, что одноименные кванторы можно менять местами, не изменяя значения предиката. Изменение порядка разноименных кванторов приводит к изменению истиностного значения предиката. Запись математических предложений с помощью предикатов.

Для того чтобы выразить некоторое предложение в виде предикатов, необходимо

- установить предметную область, к которой относятся предметные переменные,

- выделить объекты, ввести соответственные обозначения, если таковых нет в математике

- записать предложение в этих обозначениях.

Пример. Предложение: прямая а параллельна прямой b.

Предметная область – множество прямых.

Введем предикат Р (х), х – прямая. Предикат параллельности х||у

Тогда предложение можно записать в виде: Р (а) Р(b) (а||b).

Пример. Аксиома: через две различные точки проходит единственная прямая. (Ели две точки принадлежат двум прямым, то эти прямые совпадают).

Введем предикаты

Т (х), х – точка; Р (х), х – прямая; J(x, y) - x у. Тогда можно записать:

Т (А) Т (В) (А ≠ В) Р (а) Р(b) J(A, a) J(B, а) J(A, b) J(B, b) (a=b).

Наряду с квантором существования рассматривается ограниченный квантор существования.

! – означает существование единственного элемента.

Запишем теперь эту аксиому, используя ограниченный квантор существования:

(А, В) (Т (А) Т (В) (! (а)) Р (а) J(A, a) J(B, b)).