Пример. а) Отношение равенства (часто обозначается ) на любом множестве является отношением эквивалентности

а) Отношение равенства (часто обозначается ) на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство – это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из этого отношения (то есть любой единицы на главной диагонали матрицы ) оно перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения вида или , состоящие из формул, соединённых знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: две формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность в данном случае, хотя и обозначена знаком “=”, означает не то же самое, что отношение равенства, так как оно может выполняться для различных формул. Впрочем, можно считать, что знак равенства в таких отношениях относится не к самим формулам, а к функциям, которые ими описываются. Для формул же отношение равенства – это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством. Кстати, чтобы в подобных ситуациях избежать разночтений, часто для обозначения отношения равносильности используют знак “ ”.

в) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение “иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число ” на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

е) Отношение “быть делителем” не является на множестве отношением эквивалентности. Оно обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но является антисимметричным (см. ниже).

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент и образуем класс (подмножество ), состоящий из элемента и всех элементов, эквивалентных ему в рамках данного отношения. Затем выберем элемент и образуем класс , состоящий из и эквивалентных ему элементов. Продолжая эти действия, получим систему классов (возможно, бесконечную) такую, что любой элемент из множества входит хотя бы в один класс, то есть .

Эта система обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение множества , то есть классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы и пресекались, то они имели бы хотя бы один общий элемент. Этот элемент был бы, очевидно, эквивалентен и . Тогда, в силу транзитивности отношения выполнялось бы . Однако, по способу построения классов, это не возможно. Аналогично можно доказать другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов – подмножеств множества , называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение множества на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение “входить в один класс данного разбиения”.