Угол поворота Dj – угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса R

2) угловая скорость w - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота Dj в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:

(1.12)

3) угловое ускорение e - векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно - в случае замедленного:

(1.13)

Период вращения (T) - время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения (n) - число оборотов, совершаемых в единицу времени.

Круговая (циклическая) частота ω - число оборотов, совершаемых за время, равное 2π.

Связь между периодом, частотой и круговой частотой:

ω = 2π n = 2π /T; n = 1/T. (1.14)

Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями:

v =[ ω × r ]; (1.15)

(1.16)

Колебательные движения (колебания) - движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.

Гармонические колебания (простейший вид колебаний) - движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

x = x₀× sin(w₀t + j₀), (1.17)

где x - смещение - удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;

x₀ - амплитуда колебаний - наибольшее (максимальное) удаление материальной точки от положения равновесия;

(wt + j₀) - фаза колебаний - периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t;

j₀- начальная фаза колебаний - определяет положение материальной точки в начальный момент времени t = 0;

w = 2p/T = 2pn - круговая (циклическая) частота колебаний;

T - период колебаний;

n - частота колебаний.

Скорость при гармоническом колебательном движении (колебательная скорость) - физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:

. (1.18)

Ускорение при гармоническом колебании - физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:

. (1.19)

Знак " минус" означает - ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами и частотами (x₀₁ = x₀₂; w₁ = w₂ = w), но разными начальными фазами (j₀₂ ¹ j₀₁), проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид

(1.20)

где - амплитуда результирующего колебания;

- фаза результирующего колебания.

Биения – возникают при сложение колебаний одного направления, с одинаковыми амплитудами (x₀₂ = x₀₁), начальными фазами j₀₁ = j₀₂ = 0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (w₁» w₂). Уравнения таких колебаний имеют вид

x₁ = x₀₁× sinw₁t; x₂ = x₀₁× sinw₂t. (1.21)

Уравнение результирующего колебания:

x = x₁ + x₂ = 2x₀₁× , (1.22)

где - амплитуда результирующего колебания, которая зависит от Dw = w₁ - w₂ – разности частот складываемых колебаний;

- смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону;

Частота и период результирующего колебания:

(1.23)

Частота и период изменения амплитуды в этом случае:

(1.24)

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу:

1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (w₁ = w₂ = w), различными амплитудами (x₀ ¹ y₀) с начальными фазами j₁ = j₂ = 0 - результирующее колебание - гармоническое. Траектория движения - прямая линия, уравнение которой имеет вид

y = (y₀/x₀)× x; (1.25)

2) сложение колебаний, начальные фазы j₁ и j₂ которых отличаются на p/2 (j₁ - j₂ = p/2) - результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x₀ = y₀ - траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными, x₀ и y₀, уравнение которого:

(y/y₀)² + (x/x₀)² = 1; (1.26)

3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа - через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

1.2. Элементы классической динамики материальной точки и твердого тела

Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.

Основная задача динамики - для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.

Масса m - физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой.

Импульс p ( количество движения) - физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость:

p = m v. (1.27)

Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

p = m v _c. (1.28)

Центр масс (или центр инерции) системы - воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус-вектором:

, (1.29)

где m_i и r_i - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

n - число материальных точек в системе.