Случайные функции и их вероятностное описание
Случайные функции так же, как и случайные величины, должны определяться вероятностными законами распределения их реализаций. Каждая реализация случайной функции ξ (t) представляет функцию времени xi(t). Если на спектр случайного сигнала не наложить никаких ограничений, то его реализация даже при конечной их длительности будут определятся бесконечным числом координат, представляющих значения функции xi(t) в различные моменты времени. Вероятностное описание такой случайной функции эквивалентно вероятностному описанию бесконечномерной случайной величины и соответственно требует использования бесконечномерных законов распределения. Задача описания случайной функции значительно упрощается, если ширину ее спектра ограничить сверху величиной Fв. В этом случае каждая реализация случайной функции длительностью T в соответствии с теоремой Котельникова полностью определяется дискретной выборкой, содержащей N=2FBT отсчетов, следующих с интервалом Δ t=1/2FB. Такая случайная функция может быть задана N-мерным дифференциальным законом распределения, определяющим плотность вероятности ω N(x1, x2, …, xN) ее реализации, характеризуемой совокупностью значений x1, x2, …, xN в дискретных точках отсчета. Вероятность того, что осуществится реализация, значения которой в дискретных точках отсчета лежат в пределах (x1, x1+dx1), …, (xN, xN+dxN), равна ω N(x1, x2, …, xN)dx1dx2…dxN. Заменяя непрерывные реализации xi(t) N-мерной дискретной выборкой, мы тем самым все реализации, имеющие одинаковый спектр до некоторой граничной частоты Fв и отличающиеся лишь высокочастотными составляющими спектра за этой границей, заменяем некоторой средней реализацией, соответствующей «усечению» спектров верхней границей Fв. Среднеквадратическая ошибка представления всех этих реализаций общей N-мерной выборкой по теореме Котельникова не превосходит
|
, где Δ E – энергия, приходящаяся на часть спектра реализаций, лежащую выше границы Fв. Выбор размерности закона распределения ω N(x1, x2, …, xN), характеризующего случайную функцию ξ (t), зависит от требований к точности представления ее реализаций. Чем меньше размерность N закона распределения (чем меньше выбрана граничная частота Fв), тем больше величина Δ E/T, характеризующая погрешность представления реализаций случайной функции данной выборкой. И, наоборот, чем больше размерность N закона распределения, тем выше точность представления реализаций случайного сигнала.
