Нормальный закон распределения.

Среди случайных величин особое место занимают нормальные случайные величины, подчиняются так называемому нормальному закону распределения:

(2.23)

Определим 1-й начальный момент нормальной случайной величины ξ;:

Сделав замену , получим

так как первый из интегралов равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции, а

Итак, a=m₁(ξ).

Определим теперь 2-й центральный момент нормальной случайной величины ξ;:

так как

Таким образом, величины a и σ ², полностью определяющие нормальный закон распределения, представляют собой соответственно среднее значение и дисперсию случайной величины ξ;, т.е. нормальный закон распределения плотности определяется, если известны первые два момента. Из формулы (2.23) видно, что нормальное распределение симметрично относительно среднего значения случайной величины a. Максимум плотности вероятности, соответствующий x=a, равен

На рис 2.1 приведен вид нормального закона для различных σ при а=0.

Рис. 2.1

Нормальный закон распределения занимает особое положение в силу того, что большинство реальных случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Последнее обстоятельство связано с тем, что на практике случайные величины обычно являются результатом совокупного действия многих независимых случайных факторов и, при некоторых условиях, по мере увеличения числа этих факторов закон распределения асимптотически приближается к нормальному. Условия эти определяются центральной предельной теоремой теории вероятности, которая в упрощенном виде может быть сформулирована следующим образом: если независимые случайные величины ξ ₁, ξ ₂, …, ξ _n имеют одинаковые распределения с конечной, отличной от нуля дисперсией σ ², то при n→ ∞ сумма этих величин стремится к нормальному распределению со средним значением и дисперсией .

А. М. Ляпунов показал, что тенденция к нормализации случайных величин имеет место и при более общих предположениях.

Рис. 2.2

Решение многих практических задач не столь критично к точности аппроксимации закона распределения и уже в случае, когда случайная величина определяется несколькими примерно равноценными независимыми факторами, закон ее распределения можно приближенно аппроксимировать нормальным законом.

Интегральный закон распределения, соответствующий нормальному закону (2.23), имеет вид:

(2.24)

Если перейти к нормированным отклонениям , то получим

(2.25)

Функция , представляющая собой вероятность того, что нормированное случайное отклонение не превзойдет величину z, называется интегралом вероятности. Вид этой функции приведен на рис. 2.2.

Поскольку

то F(-z)=1-F(z) и функцию F(z) достаточно определить в положительной области.

Вероятность того, что нормальная случайная величина ξ не выйдет за пределы интервала [x₁, x₂]

(2.26)