Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нормальный закон распределения.





Среди случайных величин особое место занимают нормальные случайные величины, подчиняются так называемому нормальному закону распределения:

(2.23)

Определим 1-й начальный момент нормальной случайной величины ξ;:

Сделав замену , получим

так как первый из интегралов равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции, а

Итак, a=m1(ξ).

Определим теперь 2-й центральный момент нормальной случайной величины ξ;:

так как

Таким образом, величины a и σ 2, полностью определяющие нормальный закон распределения, представляют собой соответственно среднее значение и дисперсию случайной величины ξ;, т.е. нормальный закон распределения плотности определяется, если известны первые два момента. Из формулы (2.23) видно, что нормальное распределение симметрично относительно среднего значения случайной величины a. Максимум плотности вероятности, соответствующий x=a, равен

На рис 2.1 приведен вид нормального закона для различных σ при а=0.

Рис. 2.1

Нормальный закон распределения занимает особое положение в силу того, что большинство реальных случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Последнее обстоятельство связано с тем, что на практике случайные величины обычно являются результатом совокупного действия многих независимых случайных факторов и, при некоторых условиях, по мере увеличения числа этих факторов закон распределения асимптотически приближается к нормальному. Условия эти определяются центральной предельной теоремой теории вероятности, которая в упрощенном виде может быть сформулирована следующим образом: если независимые случайные величины ξ 1, ξ 2, …, ξ n имеют одинаковые распределения с конечной, отличной от нуля дисперсией σ 2, то при n→ ∞ сумма этих величин стремится к нормальному распределению со средним значением и дисперсией .

А. М. Ляпунов показал, что тенденция к нормализации случайных величин имеет место и при более общих предположениях.

Рис. 2.2

Решение многих практических задач не столь критично к точности аппроксимации закона распределения и уже в случае, когда случайная величина определяется несколькими примерно равноценными независимыми факторами, закон ее распределения можно приближенно аппроксимировать нормальным законом.

Интегральный закон распределения, соответствующий нормальному закону (2.23), имеет вид:

(2.24)

Если перейти к нормированным отклонениям , то получим

(2.25)

Функция , представляющая собой вероятность того, что нормированное случайное отклонение не превзойдет величину z, называется интегралом вероятности. Вид этой функции приведен на рис. 2.2.

Поскольку

то F(-z)=1-F(z) и функцию F(z) достаточно определить в положительной области.

Вероятность того, что нормальная случайная величина ξ не выйдет за пределы интервала [x1, x2]

(2.26)

 

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 683. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия