Случайные величины и их вероятностные характеристики

Если случайная величина ξ может принимать конечное число дискретных значений x_i, исчерпывающей вероятностной характеристикой ее служит распределение вероятностей этих значений P_i. (По аналогии со случайными функциями случайные величины обозначим буквами греческого алфавита, а их конкретные реализации – буквами латинского алфавита.)

Если случайная величина ξ непрерывна и может принимать любое значение на интервале [x_min, x_max], то ее статистической характеристикой может служить так называемый интегральный закон распределения F (x)=P(ξ < x), определяющий вероятность того, что случайная величина ξ не превзойдет значение x. Из определения интегрального закона распределения вытекает следующее очевидное соотношение:

где – вероятность того, что случайная величина ξ не выйдет за пределы интервала [x₁, x₂].

Очевидны следующие свойства функции F(x): F(x) – монотонная неубывающая функция;

Если функция F(x) дифференцируемая, то в качестве вероятностной характеристики случайной величины удобно использовать дифференциальный закон распределения или закон распределения плотности вероятности

(2.15)

Очевидны следующие соотношения:

 

Помимо законов распределения, часто используются числовые характеристики случайных величин, так называемые моменты распределения. Моменты, характеризующие распределение случайных величин относительно нуля, называются начальными.

Для непрерывных случайных величин начальный момент k-го порядка определяется по формуле

(2.16)

Для дискретной случайной величины ξ;, принимающей значения x₁, x₂, …, x_n с вероятностями P₁, P₂, …, P_n,

(2.17)

Наиболее важное значение имеют моменты 1-го и 2-го порядков. Начальный момент 1-го порядка дает математическое ожидание или среднее значение случайной величины ξ;:

(2.18)

Разность Δ _ξ =ξ – m₁(ξ) называется отклонением случайной величины. Моменты распределения отклонений случайной величины называются центральными и обозначаются M_k(ξ). Нетрудно убедиться, что M₁(ξ)=0.

Случайные величины с нулевым средним значением называются центрированными. Любые случайные величины можно свести к центрированным, если перейти к отклонениям Δ _ξ .

Начальный момент 2-го порядка определяет средний квадрат случайной величины ξ;:

(2.19)

Центральный момент 2-го порядка называется дисперсией случайной величины:

(2.20)

Отношение Δ _ξ /σ _ξ называется нормированным отклонением случайной величины.

Центральный и начальный момент 2-го порядка случайной величины связаны простым соотношением:

(2.21)

Для совокупности двух случайных величин ξ ₁ и ξ ₂ исчерпывающей вероятностной характеристикой служит двумерный интегральный закон распределения F(x₁, x₂)=P(ξ ₁< x₁, ξ ₂< x₂), определяющий вероятность того, что случайные величины ξ ₁ и ξ ₂ не превосходят соответственно значений x₁ и x₂. Если функция F(x₁, x₂) дифференцируемая, то вероятностной характеристикой двумерной случайной величины может служить двумерный дифференциальный закон распределения или двумерная плотность вероятностей ω ₂(x₁, x₂)=∂ ²F(x₁, x₂)/∂ x₁∂ x₂. Аналогично могут быть введены многомерный интегральный закон распределения и многомерные функции распределения для совокупностей из любого числа случайных величин.

Можно также ввести числовые характеристики для совокупности двух случайных величин ξ ₁ и ξ ₂, имеющих двумерную плотность вероятностей ω ₂(x₁, x₂). Весьма важной числовой характеристикой совокупности двух случайных величин является смешанный второй центральный момент или ковариация случайных величин ξ ₁ и ξ ₂:

(2.22)

Если случайные величины ξ ₁ и ξ ₂ независимы, то ω ₂(x₁, x₂)=ω (x₁)ω (x₂), и двукратный интеграл в (2.22) распадается на произведения двух однократных интегралов:

и, следовательно, M₂(ξ ₁, ξ ₂)=0. Поэтому ковариация M₂(ξ ₁, ξ ₂) может служить некоторой мерой зависимости между двумя случайными величинами. Чаще в качестве такой меры принимают безразмерный коэффициент корреляции

Две случайные величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными. Случайные величины, для которых 1-й начальный момент их произведения

называют ортогональными. Если средние значения случайных величин равно нулю, то понятия ортогональности и некоррелированности случайных величин совпадают.

Моменты распределения того или иного порядка, являясь важными числовыми характеристиками случайной величины, не являются, однако, их однозначной полной статистической характеристикой: случайные величины, имеющие одинаковые 1-й и 2-й моменты, могут иметь разные законы распределения.