Решение задач 8,9 контрольной работы 1

 

Задача 8. Даны множества и N}. Какова мощность множеств ?

Решение. Множество A конечно и задано перечислением своих элементов, множество B задано характеристическим свойством. Запишем несколько первых элементов множества . Видим, что Æ и , т.е. множество конечно.

Покажем, что множество счетно. Зану-меруем его элементы:

Задана биекция множества N на множество , следовательно, счетно и .

По определению декартова произведения . Запишем элементы этого множества в виде матрицы (рис. 1.27) и занумеруем их по столбцам.

	A ¯ B ®         … -2 (-2, 3)1 (-2, 7)4 (-2.11)7 (-2, 15)10 … -1 (-1, 3)2 (-1, 7)5 (-1, 11)8 (-1, 15)11 …   (0, 3)3 (0, 7)6 (0, 11)9 (0, 15)12 …   Рис. 1.27. Множество A ´ B

 

Замечаем, что если номер n делится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 0; если номер n делится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен –2; если номер n делится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен -1. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:

и множество счетно, т.е. имеет мощность À ₀.

 

Задача 9. Равномощны ли множества и ?

Решение. Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется такое, что , и найдется такое, что .

Выберем в качестве множество и установим биекцию следующим образом:

Множества и Y равномощны.

Пусть . Установим биекцию по закону . Множества и X равномощны. По теореме Кантора-Бернштейна .

Контрольные вопросы и упражнения

 

1. Является ли биекцией отображение , заданное на отрезке [-1; 1]? А заданное на [0; 1]?

2. Являются ли равномощными множества и ?

3. Являются ли равномощными множество и множество корней квадратного уравнения ?

4. Сформулируйте теорему Кантора-Бернштейна.

5. Покажите, пользуясь теоремой Кантора-Бернштейна, что множества и равномощны.

6. Даны множества и . Чему равно ?

7. Впишите ответ:

Если , , то ________.

8. Пусть . Тогда ½ B(X)½ =______, B(X) = {______________}.

9. Сколько подмножеств имеет множество ?

10. Какое множество называется счетным?

11. Покажите, что множество целых чисел Z счетно.

12. Мощность счетного множества обозначается _____.

13. Сформулируйте свойства счетных множеств.

14. Множество X – все натуральные числа, делящиеся на 3; множество Y – натуральные числа, делящиеся на 4. Какова мощность множества ?

15. Используя обобщенное правило включения-исключения (см. 1.4.4) решите задачу 1 контрольной работы 1.