Несчетные множества

Рассмотрим множество R. Сравним его с множеством N. Очевидно, что ½ N ½. Действительно, отрезок [0; 1] содержит счетное подмножество , значит, является не менее, чем счетным. Покажем, что [0; 1] и N не являются равномощными множествами, т.е. что .

Теорема. Множество точек отрезка [0; 1] не является счетным.

Проведем доказательство методом “от противного”. Предположим, что множество [0; 1] счетно, т.е. существует биекция N на [0; 1], и каждому элементу отрезка можно присвоить номер: N }. Каждый элемент отрезка [0; 1] представляется в виде бесконечной десятичной дроби , где – j -я десятичная цифра i -го элемента. Запишем все элементы N, в порядке возрастания номеров. Покажем, что найдется элемент b, принадлежащий отрезку [0; 1], но не совпадающий ни с одним из занумерованных элементов N. Метод построения такого элемента называется диагональной процедурой Кантора и заключается в следующем. Будем строить элемент b в виде бесконечной десятичной дроби , где – i -я десятичная цифра. В качестве возьмем любую цифру, не совпадающую с , – любую цифру, не совпадающую с , и т.д., при любых N (рис. 1.26). Построенный таким образом элемент b принадлежит отрезку[0; 1], но отличается от каждого из занумерованных элементов хотя бы одной цифрой. Следовательно, предположение о том, что существует биекция N ® [0; 1]ошибочно, и множество [0; 1] не является счетным.

Рис. 1.26. Диагональная процедура Кантора

Итак, мы показали, что ½ [0; 1]½ > ½ N ½, т.е. класс эквивалентности, которому принадлежит отрезок [0; 1], расположен правее класса À ₀ счетных множеств в ряду мощностей (рис. 1.25). Обозначим этот класс À (без индекса). Множества, принадлежащие этому классу, называются несчетными или множествами мощности континуум (континуум – непрерывный). Этому классу принадлежат и интервал (0; 1), и множество R действительных чисел, и множество точек круга на плоскости.

Пример. Множество R имеет мощность континуума, т.к. равномощно отрезку [0; 1]. Действительно, по теореме Кантора-Бернштейна (см. 1.4.3) ½ [0; 1]½ = ½ (0; 1)½. Биекцию интервала (0; 1)на множество R можно задать с помощью сложной функции , где имеет вид и отображает интервал (0; 1)на интервал , а отображает интервал на R по закону .