Студопедия — Несчетные множества
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Несчетные множества






 

Рассмотрим множество R. Сравним его с множеством N. Очевидно, что ½ N ½. Действительно, отрезок [0; 1] содержит счетное подмножество , значит, является не менее, чем счетным. Покажем, что [0; 1] и N не являются равномощными множествами, т.е. что .

Теорема. Множество точек отрезка [0; 1] не является счетным.

Проведем доказательство методом “от противного”. Предположим, что множество [0; 1] счетно, т.е. существует биекция N на [0; 1], и каждому элементу отрезка можно присвоить номер: N }. Каждый элемент отрезка [0; 1] представляется в виде бесконечной десятичной дроби , где j -я десятичная цифра i -го элемента. Запишем все элементы N, в порядке возрастания номеров. Покажем, что найдется элемент b, принадлежащий отрезку [0; 1], но не совпадающий ни с одним из занумерованных элементов N. Метод построения такого элемента называется диагональной процедурой Кантора и заключается в следующем. Будем строить элемент b в виде бесконечной десятичной дроби , где i -я десятичная цифра. В качестве возьмем любую цифру, не совпадающую с , – любую цифру, не совпадающую с , и т.д., при любых N (рис. 1.26). Построенный таким образом элемент b принадлежит отрезку[0; 1], но отличается от каждого из занумерованных элементов хотя бы одной цифрой. Следовательно, предположение о том, что существует биекция N ® [0; 1]ошибочно, и множество [0; 1] не является счетным.

Рис. 1.26. Диагональная процедура Кантора

 

Итак, мы показали, что ½ [0; 1]½ > ½ N ½, т.е. класс эквивалентности, которому принадлежит отрезок [0; 1], расположен правее класса À 0 счетных множеств в ряду мощностей (рис. 1.25). Обозначим этот класс À (без индекса). Множества, принадлежащие этому классу, называются несчетными или множествами мощности континуум (континуум – непрерывный). Этому классу принадлежат и интервал (0; 1), и множество R действительных чисел, и множество точек круга на плоскости.

Пример. Множество R имеет мощность континуума, т.к. равномощно отрезку [0; 1]. Действительно, по теореме Кантора-Бернштейна (см. 1.4.3) ½ [0; 1]½ = ½ (0; 1)½. Биекцию интервала (0; 1)на множество R можно задать с помощью сложной функции , где имеет вид и отображает интервал (0; 1)на интервал , а отображает интервал на R по закону .







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 866. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия