Замечания

1. Если система дифференциальных уравнений не интегрируется в элементарных функциях, то решение задачи в данном пособии заканчивается составлением дифференциальных уравнений движения системы.

2. Если по условию задачи требуется определить обобщенные ускорения , то система дифференциальных уравнений решается как алгебраическая система уравнений.

 

Задача 1.1. Система на рис. 1.11 состоит из груза A, ступенчатого барабана B и катушки C. Постоянный момент M = 12 Pr вращает барабан B, наматывая на него два троса, поднимающих груз A и катушку C, катящуюся без проскальзывания по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол a.

 

Рис. 1.11

Вес груза A равен 5 P, вес барабана B равен P, R = 2 r. Радиус инерции барабана B относительно его оси вращения – r. Вес катушки C равен 2 P, радиус инерции катушки относительно оси ее симметрии – .

Пренебрегая весом тросов и сопротивлением движению, составить дифференциальное уравнение движения системы и определить из этого уравнения угловое ускорение барабана B.

Решение. На систему (рис. 1.11) действуют активные силы: P_A, P_B, P_C и момент M.

Система имеет одну степень свободы, так как закрепление точки A, движущейся по прямой, ведет к остановке всей системы. За обобщенную координату возьмем угол j поворота барабана B.

Определим кинетическую энергию системы:

 

T = T_A + T_B + T_C.

 

По формулам (2)... (4) прил. 2 имеем

.

Выразим V_A, w _B, w _C, V_C через (рис. 1.12): , , . Мгновенный центр скоростей катушки находится в точке L, поэтому

.

Подставляя эти данные в T и учитывая, что

после преобразований получим

.

Определим обобщенную силу Q. Малое приращение обобщенной координаты dj _B и соответствующие возможные перемещения объектов системы показаны на рис. 1.13. Обратите внимание на аналогию между картиной скоростей системы (рис. 1.12) и картиной возможных перемещений (рис. 1.13).

Составим выражение суммы работ активных сил на возможных перемещениях:

.

Из анализа рис. 1.13 следует, что

.

Рис. 1.12

 

Рис. 1.13

 

Подставляя эти результаты в и учитывая заданные условием задачи величины сил, после преобразований получим

.

Для составления дифференциального уравнения движения системы вначале установим, что

Подставляя эти результаты и найденное ранее Q в уравнение (1.1), после преобразований получим угловое ускорение барабана B

.

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.2.

 

Задача 1.2. Груз А весом Р посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, приводит в движение каток С, который катится без проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 1.14). Каток и блок – однородные сплошные диски одинакового веса Q и радиуса r. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол a. Следует составить дифференциальное уравнение движения системы под действием сил тяжести и затем определить из полученного уравнения ускорение груза А. За обобщенную координату рекомендуется взять x_A.

 

Ответ: a_A = (P – 0, 5 Q sin a) g (P + 0, 875 Q)^-1.

 

Задача 1.3. Система на рис. 1.15 состоит из диска D и стержня AB, соединенных между собой шарниром A.

Диск D может вращаться относительно горизонтальной оси O, перпендикулярной его плоскости. Сплошной однородный диск D имеет вес P, радиус r. Тонкий однородный стержень AB имеет вес 2 P, длину 4 r. Составить дифференциальные уравнения движения системы под действием сил тяжести. Сопротивлением движению пренебречь.

Решение. Активные силы системы – силы тяжести P_D и P_AB.

Для определения числа степеней свободы системы (рис. 1.15) закрепим вращающийся диск D. После этого стержень AB сможет вращаться вокруг неподвижной оси A. Если закрепить еще и стержень AB, то получим неподвижную систему. Это значит, что система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат системы возьмем углы j и q.

 

Рис. 1.15 Рис. 1.16

 

Определим кинетическую энергию системы: T = T_D + T_AB.

По формулам (3) и (4) прил. 2 имеем

Выразим w _D, w _AB и V_C через обобщенные скорости : ; скорость точки C найдем по формуле

,

где , ; дифференцируя эти координаты по времени и подставляя результаты в формулу для V_C, получим

.

Эту формулу можно также получить, считая, что V_С – диагональ параллелограмма, построенного на скорости полюса А () и скорости от вращения точки С вокруг полюса А (). Построение параллелограмма выполнено на рис. 1.15.

Далее, учитывая, что

получим после преобразований следующее выражение

.

Определим обобщенные силы Q ₁ и Q ₂ (рис. 1.16). Сумму работ активных сил P_D и P_AB будем определять, используя координатную форму работы силы (1.3б)

.

Из анализа рис. 1.16 следует:

.

По формулам (7) прил. 1 имеем

. (л)

Определение Q ₁. Дадим системе первое возможное перемещение, когда dj > 0, dq = 0; из формул (л) имеем

;

далее находим

,

по формуле (1.4) .

Определение Q ₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда dj = 0, dq > 0; из формул (л) имеем

;

далее находим

,

по формуле (1.4) .

Для составления дифференциальных уравнений движения системы вначале установим, что

Подставив эти результаты, а также найденные ранее Q ₁ и Q ₂ в уравнения (1.1), после преобразования получим искомые дифференциальные уравнения движения системы:

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.4.

 

Задача 1.4. Цилиндр В (рис. 1.17) весом Р и радиусом r, скатываясь по наклонной плоскости призмы А, приводит ее в движение по гладкому горизонтальному полу. Вес призмы А равен Q. Проскальзывание между цилиндром и призмой отсутствует. Цилиндр считать однородным сплошным телом. Составить дифференциальные уравнения движения данной системы под действием сил тяжести и определить из полученных уравнений ускорение призмы А и ускорение центра В цилиндра относительно призмы. В качестве обобщенных координат рекомендуется взять смещение s ₁ призмы по полу и смещение s ₂ центра В цилиндра по наклонной плоскости призмы.

 

Ответ: а_А = P sin 2a g (3(P + Q) – 2 P cos 2a)^-1,

a_B/A = 2 (P + Q) sin a g (3(P + Q) – 2 P cos 2a)^-1.

 

Задача 1.5. Система на рис 1.18 состоит из двух грузов A и B. Грузы соединены нерастяжимой нитью KE и пружиной EN, как показано на рис. 1.18. Вес груза A равен P, вес груза B равен 2 P. Коэффициент жесткости пружины равен с, длина недеформированной пружины равна . Пренебрегая массами блока D, нити и пружины, а также сопротивлением движению, определить уравнения движения грузов. В начальный момент грузы неподвижны

, s ₀ = .

Решение. На систему действуют активные силы: P_A = P, P_B = 2 P и упругие силы пружины F ₁ = F ₂ = c (s – ).

Система имеет две степени свободы, так как для остановки ее нужно закрепить две точки A и B, движущиеся по вертикали.

В качестве обобщенных координат возьмем x_B = x и s. Отметим, что координата s определяет длину пружины в произвольном положении.

Определим кинетическую энергию системы: T = T_A + T_В.

По формуле (2) прил. 2 имеем

Выразим V_A и V_B через обобщенные скорости и .

Из анализа рис. 1.19 следует: .

 

Рис. 1. 18 Рис. 1.19

 

Подставив эти значения в T и учитывая, что

,

получим

.

Определим обобщенные силы Q ₁ и Q ₂.

Определение Q ₁. Дадим системе первое возможное перемещение, (рис. 1.20, а), когда d x > 0, d s = 0; при этом груз B переместится вниз на рас­с­тояние d x, точка E и груз A переместятся вверх на такое же расстояние

,

затем по формуле (1.4) с учетом заданных значений сил получим Q ₁ = P.

Определение Q ₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда d x = 0, d s > 0 (рис. 1.20, б); при этом груз B и точка E останутся неподвижными, а груз A переместится вниз на расстояние d s

,

затем по формуле (1.4) получим

.

Рис. 1.20

 

Для составления дифференциальных уравнений движения данной системы вначале установим, что

Подставляя эти результаты, а также найденные ранее обобщенные силы Q ₁ и Q ₂ в уравнения (1.1), получим искомые уравнения движения рассматриваемой системы

.

Решая совместно эти уравнения, получим

, (м)

. (н)

Для интегрирования уравнения (н) произведем замену переменной s на u так, чтобы это уравнение приняло вид дифференциального уравнения гармонических колебаний

, (п)

где

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (п), имеет мнимые корни. Поэтому решение уравнения (п) запишем в виде

Возвращаясь к переменной s, получим

. (р)

Из начальных условий найдем

Тогда уравнение (р) примет вид

. (с)

Подставляя (с) в (м), после преобразований получим

.

Интегрируя это дифференциальное уравнение с учетом заданных условием задачи начальных условий, найдем уравнение движения груза A:

.

Далее предлагается самостоятельно решить задачу 1.6.

Задача 1.6. На однородный сплошной диск А весом Р и радиусом r (рис. 1.21) намотана нерастяжимая нить. Точка В вертикального участка этой нити соединена с нижним концом пружины ВD, верхний конец которой неподвижен. Коэффициент жесткости пружины равен с. В начальный момент диск находился в покое, пружина длиной была недеформированной, координата x центра цилиндра была равна x ₀. Отпущенный без начальной скорости диск падает, разматывая нить и деформируя пружину. При этом центр диска движется по вертикали. Пренебрегая сопротивлением движению, массами нити и пружины, составить дифференциальные уравнения движения данной системы и, решая их, получить законы изменения обобщенных координат x и s.

 

Ответ: x = x_o + g /3(t ² + 1/ k ² (1 – coskt)),

s = + g/k ² (1 – coskt),

где k = 3 gc/P, g – ускорение свободного падения.