Обобщенная сила системы с одной степенью свободы

Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q, называют величину, определяемую формулой

, (1.3)

 

где d q – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.

Напомним, что возможное перемещение системы определяется как перемещение системы в бесконечно близкое положение, допускаемое связями в данный момент времени (подробнее см. прил. 1).

Известно, что сумма работ сил реакций идеальных связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Поэтому для системы с идеальными связями в выражении следует учитывать только работу активных сил системы. Если же связи не идеальны, то силы реакций их, например, силы трения, условно считаются активными силами (см. ниже указания к схеме на рис. 1.5). В включается элементарная работа активных сил и элементарная работа моментов активных пар сил. Запишем формулы для определения этих работ. Допустим, сила (F_kx, F_ky, F_kz) приложена в точке К, радиус-вектор которой есть (x_k, y_k, z_k), а возможное перемещение – (d x_k, d y_k, d z_k). Элементарная работа силы на возможном перемещении равна скалярному произведению , которому в аналитической форме соответствует выражение

 

d А( ) = F_к d r_к cos (), (1.3а)

 

а в координатной форме – выражение

 

d А( ) = F_kx d x_k + F_ky d y_k + F_kz d z_k. (1.3б)

 

Если пара сил с моментом М приложена к вращающемуся телу, угловая координата которого есть j, а возможное перемещение dj, то элементарная работа момента М на возможном перемещении dj определяется по формуле

d А(М) = ± M d j. (1.3в)

 

Здесь знак (+) соответствует случаю, когда момент М и возможное перемещение dj совпадают по направлению; знак (–), когда они противоположны по направлению.

Чтобы можно было по формуле (1.3) определить обобщенную силу, надо возможные перемещения тел и точек в выразить через малое приращение обобщенной координаты d q, используя зависимости (1)…(7) прил. 1.

Определение обобщенной силы Q, соответствующей выбранной обобщенной координате q, рекомендуется производить в следующем порядке.

· Изобразить на расчетной схеме все активные силы системы.

· Дать малое приращение обобщенной координате d q > 0; показать на расчетной схеме соответствующие возможные перемещения всех точек, в которых приложены силы, и возможные угловые перемещения всех тел, к которым приложены моменты пар сил.

· Составить выражение элементарной работы всех активных сил системы на этих перемещениях, возможные перемещения в выразить через d q.

· Определить обобщенную силу по формуле (1.3).

Пример 1.4 (см. условие к рис. 1.1).

Определим обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате s (рис. 1.4).

На систему действуют активные силы: P – вес груза; G – вес барабана и вращающий момент M.

Шероховатая наклонная плоскость является для груза А неидеальной связью. Сила трения скольжения F_тр, действующая на груз A со стороны этой связи, равна F_тр = f N.

Для определения силы N нормального давления груза на плоскость при движении воспользуемся принципом Даламбера: если к каждой точке системы помимо действующих активных сил и сил реакций связей приложить условную силу инерции, то образованная совокупность сил будет уравновешенной и уравнениям динамики можно придать форму уравнений равновесия статики [1]. Следуя известной методике применения этого принципа [3], изобразим все силы, действующие на груз A (рис. 1.5), – и , где – сила натяжения троса.

 

Рис. 1.4 Рис. 1.5

 

Добавим силу инерции , где – ускорение груза. Уравнение принципа Даламбера в проекции на ось y имеет вид N – P cos a = 0.

Отсюда N = P cos a. Силу трения скольжения теперь можно определить по формуле F_тр = f P cos a.

 

Дадим обобщенной координате s малое приращение d s > 0. При этом груз (рис. 1.4) переместится вверх по наклонной плоскости на расстояние d s, а барабан повернется против часовой стрелки на угол dj.

Составим по формулам типа (1.3а) и (1.3в) выражение суммы элементарных работ момента M, сил P и F_тр:

 

;

 

выразим в этом уравнении dj через d s: , тогда

;

 

определим обобщенную силу по формуле (1.3)

 

,

 

учтем записанную ранее формулу для F_тр и получим окончательно

 

. (б)

 

Если в этом же примере за обобщенную координату взять угол j, то обобщенная сила Q_j выразится формулой

 

.

 

Рекомендуется самостоятельно проверить достоверность этого результата.

 

1.4.2. Определение обобщенных сил системы
с двумя степенями свободы

Если система имеет n степеней свободы, ее положение определяют n обобщенных координат. Каждой координате q_i (i = 1, 2, …, n) соответствует своя обобщенная сила Q_i, которая определяется по формуле

 

, (1.4)

 

где – сумма элементарных работ активных сил на i -м возможном перемещении системы, когда d q_i > 0, а остальные обобщенные координаты неизменны.

При определении надо учитывать указания к определению обобщенных сил по формуле (1.3).

Обобщенные силы системы с двумя степенями свободы рекомендуется определять в следующем порядке.

· Показать на расчетной схеме все активные силы системы.

· Определить первую обобщенную силу Q₁. Для этого дать системе первое возможное перемещение, когда d q₁ > 0, а d q₂ = 0; показать на расчетной схеме соответствующие d q₁ возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на первом возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через d q₁; найти Q₁ по формуле (1.4), принимая i = 1.

· Определить вторую обобщенную силу Q₂. Для этого дать системе второе возможное перемещение, когда d q₂ > 0, а d q₁ = 0; показать на расчетной схеме соответствующие d q₂ возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на втором возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через d q₂; найти Q₂ по формуле (1.4), принимая i = 2.

 

Пример 1.5 (см. условие к рис. 1.2)

Определим Q₁ и Q₂, соответствующие обобщенным координатам x_D и x_A (рис. 1.6, а).

На систему действуют три активные силы: P_A = 2P, P_B = P_D =P.

 

Рис. 1.6

 

Определение Q₁. Дадим системе первое возможное перемещение, когда d x_D > 0, d x_A = 0 (рис. 1.6, а). При этом груз D переместится по вертикали вниз на расстояние d x_D, блок B повернется против часовой стрелки на угол dj _B, ось цилиндра A останется неподвижной, цилиндр A повернется вокруг оси A на угол dj _A по часовой стрелке. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

;

определим

. (в)

 

Определим Q₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда d x_D = 0, d x_A > 0 (рис. 1.6, б). При этом ось цилиндра A переместится по вертикали вниз на расстояние d x_A, цилиндр A повернется вокруг оси A по часовой стрелке на угол dj _A, блок B и груз D останутся неподвижными. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

 

;

определим

. (г)

 

Пример 1.6 (см. условие к рис. 1.3)

Определим Q₁ и Q₂, соответствующие обобщенным координатам j, s (рис. 1.7, а). На систему действуют четыре активные силы: вес стержня P, вес шарика , силы упругости пружины и .

 

Рис. 1.7

 

Учтем, что . Модуль сил упругости определяется по формуле (а).

Отметим, что точка приложения силы F₂ неподвижна, поэтому работа этой силы на любом возможном перемещении системы равна нулю, в выражение обобщенных сил сила F₂ не войдет.

Определение Q₁. Дадим системе первое возможное перемещение, когда dj > 0, d s = 0 (рис. 1.7, а). При этом стержень AB повернется вокруг оси z против часовой стрелки на угол dj, возможные перемещения шарика D и центра E стержня направлены перпендикулярно отрезку AD, длина пружины не изменится. Составим в координатной форме [см. формулу (1.3б)]:

.

 

(Обратим внимание на то, что , поэтому работа этой силы на первом возможном перемещении равна нулю).

Выразим перемещения d x_E и d x_D через dj. Для этого вначале запишем

 

, .

 

Затем в соответствии с формулой (7) прил. 1 найдем

 

, .

 

Подставляя найденные величины в , получим

 

.

 

По формуле (1.4), учитывая, что , определим

 

. (д)

 

Определение Q₂. Дадим системе второе возможное перемещение, когда dj = 0, d s > 0 (рис. 1.7, б). При этом стержень AB останется неподвижным, а шарик M сместится вдоль стержня на расстояние d s. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

 

;

определим

;

 

подставив значение силы F₁ из формулы (а), получим

 

. (е)

1.5. Выражение кинетической энергии системы
в обобщенных координатах

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий ее тел и точек (прил. 2). Чтобы получить для T выражение (1.2), следует скорости всех тел и точек системы выразить через обобщенные скорости, используя методы кинематики [2]. При этом система считается находящейся в произвольном положении, все ее обобщенные скорости считаются положительными, т. е. направленными в сторону возрастания обобщенных координат.

 

Пример 1. 7 (см. условие к рис. 1.1)

Определим кинетическую энергию системы (рис. 1.8), взяв в качестве обобщенной координаты расстояние s,

T = T_A + T_B.

 

По формулам (2) и (3) прил. 2 имеем: .

Далее выразим V_A и w _B через : .

Подставляя эти данные в T и учитывая, что , получим

. (ж)

 

Пример 1.8 (см. условие к рис. 1.2)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.9, взяв в качестве обобщенных координат величины x_D и x_A,

T = T_A + T_B + T_D.

По формулам (2), (3), (4) прил. 2 запишем

 

 

.

 

Выразим V_A, V_D, w_B и w _A через :

 

.

 

При определении w _A учтено, что точка O (рис. 1.9) – мгновенный центр скоростей цилиндра A и V_k = V_D (см. соответствующие пояснения к примеру 2 прил. 2).

Подставляя полученные результаты в T и учитывая, что

 

,

определим

. (и)

 

Пример 1.9 (см. условие к рис. 1.3)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.10, взяв в качестве обобщенных координат j и s,

T = T_AB + T_D.

По формулам (1) и (3) прил. 2 имеем

 

 

Выразим w _AB и V_D через и :

 

,

 

где – переносная скорость шарика D, ее модуль определяется формулой

 

,

 

направлена перпендикулярно отрезку AD в сторону возрастания угла j; – относительная скорость шарика, ее модуль определяется по формуле , направлена в сторону возрастания координаты s. Заметим, что перпендикулярна , поэтому

 

.

 

Подставляя эти результаты в T и учитывая, что

,

 

получим

. (к)

 

1.6. Составление дифференциальных уравнений
движения механических систем

Чтобы получить искомые уравнения, нужно в уравнения Лагранжа (1.1) подставить найденное ранее выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах и обобщенные силы Q ₁, Q ₂, …, Q_n.

При нахождении частных производных T по обобщенным координатам и по обобщенным скоростям следует учитывать, что переменные q ₁, q ₂, …, q_n; считаются независимыми между собой. Это значит, что определяя частную производную T по одной из этих переменных, все остальные переменные в выражении для Т следует рассматривать как постоянные величины.

При выполнении операции следует дифференцировать по времени все входящие в переменные величины.

Подчеркнем, что уравнения Лагранжа записываются для каждой обобщенной координаты q_i (i = 1, 2, …n) системы.