ГЛАВА 2. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ОБЪЕКТА НАБЛЮДЕНИЙ С СИСТЕМОЙ

Идентификация объекта связана с абстракцией отождеств­ления. Идентификация - это " установление соответствия распо­знаваемого объекта своему образу (знаку)" [32].

Имя предмета, множество описаний его свойств и отноше­ний, выделение существенных признаков для определения классов понятий и отношений являются средствами " групповой иденти­фикации" объекта наблюдений в среде и между объектами, т.е. являются средствами базирования в смысле {(В_j; b_j)}.

Для идентификации и группового базирования применяют­ся рациональные системы описаний на уровнях У₁; У₂; У₃; У₄.

Французское слово " база" и греческое " базис" означают ос­нову чего-либо, основание, фундамент, в данном случае основа для идентификации объекта наблюдения среди множества других.

От базы, как от основания, можно строить систему описа­ний и моделей объекта наблюдений.

В качестве базиса (базы) используются три понятия:

· групповое описание, идентифицирующие объект наблюдений, как предмет, вещь, событие, мероприятие, исследуемую операцию (Г; G);

· пространственное описание объекта в среде по отноше­нию к другим объектам и процессам, (П или Р);

· временное или время-подобное описание поведения объ­екта в пространстве наблюдений, в пространстве состояний и пе­реходов (В; Т).

Рассмотрим уровни описания объекта для его группового базирования, т.е. отождествления объекта, как части мира, выде­ленной субъектом для наблюдений.

2.1. СИСТЕМА НА ЗНАКОВО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОМ УРОВНЕ - У₁

На лингвистическом уровне имена предметов называют термами.

Отношения между термами описываются с помощью функторов.

Итак, множество понятий, связанных с объектом наблюде­ний, разбиваются на два типа подмножеств: на термы и функто­ры.

Знания субъекта об объекте наблюдений формируются в виде множества правильных высказываний. Сами термы и функ­торы также определяются как правильные высказывания.

Под правильным высказыванием понимается утвердитель­ная форма предложения, истинность или ложность которого оп­ределена субъектом логически или операционно (по каналу на­блюдений или каналу абстрагирования).

При описании объекта на уровне У₁ некоторые термы могут варьироваться субъектом, т.е. определяются как константы, задаваемые субъектом в процессе конкретизации наблюдений. Подоб­ные термы в общем случае называются конституэнтами.

В качестве конституэнт выступают, в частности, физиче­ские константы, коэффициенты уравнений, параметры среды на­блюдений и т.п.

Из термов, конституэнт и функторов строят предложения (высказывания), которые могут быть истинными при определен­ных значениях конституэнт.

В общем случае множество высказываний образует систему правильных высказываний (П), часть из которых истинная (Т).

Если конституэнты в Т-высказываниях являются формаль­но определяемыми величинами, то множество правильных выска­зываний Т на множестве П образует теорию.

На лингвистическом уровне (по Месаровичу) система (å ₁) определяется как множество правильных высказываний, постро­енных из термов и функторов: [29]

S Û å ₁=(A; R)=({термы, конституэнты}; {функторы}).

Задачи и упражнения

1. Для работ, проводимых в огороде в мае месяце для кар­тофеля, в таблице Жукова находим следующую систему высказы­ваний.

" В мае продолжают проращивать до посадки поздний кар­тофель. С 1 по 5 мая сажают рассаду раннего картофеля под пленку (на случай заморозков). При температуре почвы +(8-10 С°) сажают клубни по схеме 60´ ЗО´ 6 см; при посадке опыляют зо­лой. 15-25 мая сажают поздние сорта. При росте кустиков в 20 см окучивают, предварительно удобряя и увлажняя почву".

а. Является ли данное множество высказываний правильным в общем случае и по Месаровичу?

б. Выделите термы, конституэнты и функторы. Определите арность отношений, описываемых функторами.

в. Выделите признаки (свойства), как унарные отношения, определяемые прилагательными.

г. Конкретизируйте понятия: объект, субъект, система объ­екта на данном примере.

2. Базовыми понятиями теории систем являются: объект, субъект, системный подход, система, задача субъекта, модель, системный анализ.

…. Известны определения данных понятий по первоисточ­никам.

а. Исследуйте по первоисточникам одно из этих понятий как систему, описываемую с помощью термов и функторов: учти­те, что термами и функторами при описании каждого понятия выступают другие понятия.

б. Определите множество истинных высказываний для ука­занной совокупности понятий, которое можно принять в качестве основы теории систем (на лингвистическом уровне).

в. Предложите описание отношений понятий в данной теории в виде графа: Г(Х; У), где X - вершина графа (понятия); У - ребра графа (отношения между понятиями), петли - унарные свой­ства понятий.

3. Определите отличительные признаки понятий: теория, интуитивная теория, аксиоматическая теория, дополнив систему правильных высказываний о формальных теориях и математиче­ских структурах [65].

4. Теория матричных игр строится на таких понятиях как конфликтная ситуация, игроки, стратегия, пространство страте­гий, ход, выбор, исход, выигрыши, потери, партия игры, функция потерь, правила игры [20; 24].

Постройте систему для описания матричных игр на лин­гвистическом уровне, т.е. как множество правильных высказыва­ний, используя первоисточники, например [20].

5. Имитационное моделирование трехканальной системы массового обслуживания в учебном пособии [21] рассмотрено на конкретной системе типа G/G/3/3.

Составьте описание этой конкретной системы на лингвис­тическом уровне в виде исходного множества правильных выска­зываний, определяющих поведение объекта в среде наблюдений.

2.2. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ УРОВЕНЬ
ОПИСАНИЯ СИСТЕМЫ - У₂

Система как множество правильных высказываний X мо­жет быть представлена в виде разбиения исходных множеств на подмножества:

X = Æ;

Каждое подмножество X_i также представляет собой систе­му элементов х_i Î Х_i со своими свойствами и отношениями.

Из множества систем можно сформировать в общем случае систему Х_s, как собственное подмножество указан­ных множеств:

M_s Í M=Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n={(X)}, (2.1)

где Х = (х₁, х₂,... х_n);

X - кортеж, вектор, последовательность (в зависимости от свойств объекта).

Объект X может быть точкой в n-мерном пространстве (математический объект) или описанием конкретного объекта по множеству признаков (быть базой для идентификации объекта).

Итак, система на уровне абстрагирования У₂ представляет собой собственное подмножество (М_S) множества М, определен­ного на прямом произведении множеств Х₁; Х₂; …Хn. При этом решается задача распознавания и классификации термов на уров­не множеств. Функторы определяются в отношениях на множест­вах. Вводится соответствующая система обозначений множеств и их элементов.

Задачи и упражнения

1. Определите на примере таблицы Жукова (см. упр. п.2.1) базовые множества вида Х₁ ´ Х₂ и возможные подмножества Х_s Ì X₁ ´ Х₂. В чем проявляется сходство описаний таблицы Жукова и индикатора символов с числом ячеек m ´ n?.

2. Известно определение множества по Н. Бурбаки: " Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между со­бой или с элементами других множеств".

Пусть объект представляет собой индикатор для визуализа­ции множества символов размера 7 ´ 5. Подобные индикаторы применяются в различных реальных устройствах. Множество элементов индикатора равно 35 и упорядочено в пространстве 5 ´ 7, как показано на рисунке.

Х₂

						X1

X3

 

а. Опишите работу одного из этих устройств в виде системы правильных высказываний.

б. Определите свойства элементов для выделенных на ин­дикаторе трех множеств Х₁ = {1; …7}; Х₂ = {1;...5}; Х₃={1;...35}.

в. Приведите содержательное описание систем типа
М_S Í Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n, в которых используется индикатор симво­лов.

г. Понятие " множество" (по Бурбаки) является системой. Проиллюстрируйте это с помощью понятия " граф". Для этого термы определите как вершины графа, а функторы - как петли, ребра или дуги графа.

3. Дано Х = Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n = {(х₁; х₂;...х_n)},
определите значение понятий:

Пр_iX; Пр_jХ; Пр_{i, l, k}Х, здесь Пр - проекция.

2.3. АБСТРАКТНО - АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ
ОПИСАНИЯ - У₃

Этот уровень абстрагирования - конкретизации связан с математическими объектами типа:

Г: М₁ ´ М₂ ´...М_n ® М_n+1; М Ì N,

где Г- обозначение математической структуры и алгебраи­ческой операции (в зависимости от смыслового оттенка утвер­ждения);

{М}- базовые множества Г структуры (носители структуры);

{´; ®}- обозначение системы отношений, определенной на базовых множествах (произведение множеств и следование);

N - упорядоченное множество элементов, например, множе­ство натуральных чисел, кортеж событий, алфавит символов....

Конкретизируя систему свойств и отношений, например, в виде наборов постулатов (системы аксиом) получим, в частности, абстрактно-алгебраические структуры типов: группоида, полу­группы, группы, кольца, модуля, тела, поля, решетки...., которые определяют целые классы формальных систем вида:

S = (M₁; M₂;; p₁; p₂;; a₁; a₂);

здесь:

S - алгебраическая система (математическая структура);

{М}- базовые множества определения системы;

{р}- отношения, определенные на элементах множества;

{a}- свойства, образующие систему аксиом К(a) или систе­му истинных утверждений (теорию в смысле лингвистического подхода).

Система отношений {р} может определяться на множествах: R₁; R₂; R₃;...R_n типов отношений, где индекс обозначает " арность" или " местность" отношения:

R₁ - множество унарных /одноместных отношений;

R₂ - множество бинарных /двухместных отношений;

…

R_n - множество энарных /энместных отношений.

С помощью R₁, в частности, описывается общее свойство элементов из данного множества-универсума по выделенному свойству.

Примерами бинарных отношений являются композиции, соответствия, отношения, отображения, в которых паре элементов ставится в соответствие третий элемент [2].

Функции (функционалы, операторы) являются классами объектов, определяемых на различных уровнях отношений:

У = f(x) или f(x, У) = 0 - двухместное отношение;

z = f(x, У) или f(x, У, z) = 0 - трехместное отношение;

q = f(x, У, z) или f(x, У, z, q) = 0 - четырехместное отношение.

Схема представления функции имеет вид направленной или ненаправленной кибернетической системы:

Итак, понятие системы на абстрактно-алгебраическом уров­не конкретизируется с учетом уровней У₁ и У₂. На уровне У₁ оп­ределяется теория, как множество правильных высказываний о свойствах объекта исследований {a}. На уровне У₂ конкретизиру­ется множество элементов и их отношений {М}. Множество под­множеств {М} выбирается в качестве базы. На уровне У_З конкре­тизируется понятие алгебраической операции в виде системы от­ношений {р}.

Задачи и упражнения

1. Свойствами математических объектов, в частности, яв­ляются: рефлексивность (1), антирефлексивность (2), симметрич­ность (3), антисимметричность (4), несимметричность (5), транзи­тивность (6):
{р₁; р₂;... р₆} [2].

Проиллюстрируйте указанные свойства в виде систем от­ношений на графах и на матрицах для множества из 4-х элемен­тов {а, b, с, d}.

2. Известны системы отношений: эквивалентность (1), предпорядок (2), порядок нестрогий (3), строгий порядок (4), то­лерантность (5), доминирование (6).

а. Составьте таблицу свойств для этих отношений в виде алгебраической абстракции операций вида Х ´ Y ® А и Y ´ X ® В
при Х = У = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, если принять, что X - свойства, У - отношения, А = В = {0; 1} в смысле " быть или не быть" свойству в данном отношении.

б. Сравните свойства таблиц А и В.

в. Определите модели систем, представляющие указанные отношения на графах и матрицах.

3. В понятиях групповых структур одинакового порядка изоморфизм определяется наличием двух свойств одновременно: инъекции и сюръекции. Говорят в этом случае о биективном (двойном) отображении.

Гомоморфизм имеет место при наблюдении одного из ука­занных свойств и разделяется на мономорфизм (при инъекции) или эпиморфизм (при сюръекции).

Определите изоморфизм понятий и схему соответствий для физических и математических систем, описываемых уравнениями:

L + Ri = V- электрическая система;

ma + kv + ws = F - механическая система;

= f(x) - математическая система.

Определите понятие модели на основе свойства изоморфизма.

4. Для групповых операций мультипликативности и адди­тивности на множестве {а, b, с} запишите алгебраические законы: сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный) и распределительный (дистрибутивный). Опре­делите понятия нейтрального и обратного (противоположного) элементов.

5. Алгебраическая система задана таблицей: Х ´ У ® У₁

 

Здесь Х = У = У₁ = {0, 1, 2,...6}.

Мощность множеств равна:

= = 6

Таблицу можно рассматривать как одно из возможных вы­сказываний. Какова мощность источника высказываний для сис­темы аргументов X и У?

6. Определите классы отношений и их интерпретацию для системы знаков:

{=; º; ~; «; ½ ½; ^; <; £; ³; >; Î; Í; È; Ç; ¤; Þ; Û }.

Дополните систему знаков известными Вам и выделите не­известные.

7. Алгебраическая система типа Т: А ´ А ® А называется ком­позицией объектов. Композиция может быть представлена таб­лицей или графом композиции, например:

Т0	a	b	c
a	b	c	a
b	c	c	b
c	b	b	c

Постройте граф композиции для следующего комплекса систем Т:

Т1

a

b

c

d

e

T2

b

c

T3

a

b

c

a

e

a

e

a

a

a

c

b

a

b

c

a

b

c

c

b

c

d

b

b

a

b

c

a

b

c

e

d

d

d

b

b

a

c

c

a

b

c

d

b

d

b

b

a

e

c

b

d

e

a

К какому классу алгебраических систем относятся системы
Т₁, Т₂, Т₃?