ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введем математические объекты: S - множество векторов: х, y, z....; К - множество скаляров: l, m, e..; Линейное пространство S над полем К определяется как система: Р = (S, К; j, h), где j: S ´ S ® S- внутренний закон композиции (аддитивный), S образует абелеву группу, т.е. коммутативную, ассоциативную, с нейтральным (нулевым) и обратным (-х) элементами; h: K ´ S ® S - внешний закон композиции со свойствами: а) дистрибутивности относительно внутреннего закона сложения векторов: l(х + у) = lx + ly; б) дистрибутивности относительно аддитивного закона поля К (сложения скаляров): (l + m)x = lx + mх, в) ассоциативности относительно мультипликативного закона поля К: (lm)x = (lx)m; г) наличие нейтрального элемента (e) относительно умножения в поле К: ex = x. Линейные пространства S над полем К могут быть действительными или комплексными, если К соответственно поле действительных или комплексных чисел. Примеры 1. 3-мерные векторы х(х1; х2; х3) образуют действительное линейное пространство j: х + у = z; h: lx. 2. Если S = К, то любое поле К можно рассматривать как векторное пространство над самим собой: j: (+); h: (*). 3. S = {а, b, c}; j: S ´ S ® S; j º (+).
Здесь С - нейтральный элемент. Структура типа " абелева группа". Постройте граф отношения для заданного j. 4. S = {а, b, с), К = {1, 2, 3} - имеем поле вычетов по модулю Поле вычетов можно задать в виде таблиц отношений:
|
.
K ´ K ® K
