ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ - У4

Логико-математическая интерпретация алгебраического уровня описания достигается путем идентификации значений ис­тинности и ложности и их модальностей на отрезке [0, 1], как универсуме.

Для положительной двухзначной логики без модальностей - это крайние точки отрезка: 0 - ложно, 1- истинно.

При этом значения аргументов и функции определяются на одном и том же множестве {0, 1}.

X

Алгебраические структуры, отвечающие подобным функци­ям, имеют вид направленных систем q = f(x).

{q} j x1	q1	q2	q3	q4
0

 

x1	x2	q1	q2	…	q16
						…

 

Логическая операция в общем случае записывается, как ча­стный случай алгебраической:

j: ® N_k; N_k = {0, 1, 2, 3, …, k-1},

где k - значность логики, определяется мощностью N_K.

Для двузначной логики N₂ = {0; 1}, т.е. мощность множества = 2, или из уравнения k-1=1, следовательно k=2.

Логическая интерпретация определяет систему отношений элементов множества N_k к областям истинности и ложности. Кроме положительной, различают отрицательную и смешанные типы логик.

Если ввести десятичный эквивалент двоичных наборов и использовать его для упорядоченного описания номеров наборов аргументов и номеров функций, то алгебраической базой описания логического пространства являются алгебраические выраже­ния вида:

j: ® N_m,

где n - число аргументов;

N_n - число наборов аргументов;

N_m - число логических функций.

Для двухзначной логики имеем:

N_n Î {0, 2, 4, 8, … q}; q = 2ⁿ; N_m = {0, 2, 4, 8, 16, 32..., r}; r = 2^q.

Для k - значной логики q = kⁿ и r = k^q.

Таким образом, формально между допустимыми множества­ми значений N_n и N_m для двухзначной логики имеется степенная зависимость вида

n
Nn
Nm						…….

 

Для идентификации функций при n = 4 по десятичным но­мерам удобно использовать модель логического пространства в виде карты Карно:

	XY
ZS
			20			24			212			28
			21			25			213			29
			23			27			215			211
			22			26			214			210

 

Теоретико-множественные и алгебраические операции при описании функции на логико-математическом уровне конкрети­зируются в наборе логических операций:

R Û {┐; Ù; Ú; ┐ Ú; ¯; ┐ Ù; /; ®; «; Å... }.

Задачи и упражнения

1. Составьте алгебраические системы для следующих логи­ческих операций: отрицание(┐), дизъюнкция(Ú), конъюнкция(Ù), импликация(®), эквиваленция(º). Как называются подобные таб­лицы в математической логике?

2. Для одной из ячеек системы высказываний таблицы Жукова, определяющей краткий план работ в саду и огороде, по­стройте логические формулы, введя соответствующую систему обозначений для множества правильных высказываний.

Сколько ячеек может содержать таблица Жукова? Введите для таблицы Жукова понятие " алгебраическая структура и опера­ция".

3. Номер логической функции задан десятичным числом k из множества {0,.....65531}. Задайтесь числом k. Определите соот­ветствующую этому числу логическую функцию. Воспользуйтесь картой Карно.

4. Составьте таблицу отношений N ® N, N² ® N при N = {0; 1}

опр

и N² Û N * N.

Покажите, что логическая интерпретация определяет мно­жество булевых функций от одной или 2-х переменных соответст­венно.

5. Определите изоморфизм диаграмм Эйлера, Венна, куби­ческого графа на примере одной из логических функций.

6. Полные наборы функций определяют изоморфные фор­мы их описания. Покажите изоморфизм логических систем на примерах наборов функций Пирса - Вебба (стрелка Пирса) и функции Шеффера (штрих Шеффера).

7. Определите системное свойство следующих наборов ло­гических функций: {константа 0, отрицание, конъюнкция, дизъ­юнкция}; {отрицание, конъюнкция}; {отрицание, дизъюнкция}; {стрелка Пирса}; {штрих Шеффера}.

8. Определите систему соответствий логических операций, производимых на уровне множеств (У2), и на уровне моделей ма­тематической логики (У4).

9. Известны 11 элементарных логических функций, опреде­ляемых логической формулой и кортежами свойств: (a₁; a₂; a₃; a₄; a₅);

0(a₂; a₃); 1(a₁; a₃); (a₁; a₂; a₅); (x₁Lx₂)(a₃; a₄); (x₁Vx₂)(a₃; a₄);
(x₁ ® x₂)(a₁; a₃; a₄; a₅); (x₁»x₂)(a₁; a₃; a₅); (x₁ x₂)(a₂; a₃; a₄; a₅);
(x₁Å x₂)(a₂; a₃; a₅); (x₁/x₂) (все свойства);
(x₁ ¯ x₂) (все свойства).

Дайте лингвистическое определение понятий, записанных выше.

Составьте соответствующую описанию таблицу в виде ал­гебраической операции.

ГЛАВА 3. ТОПОЛОГИЯ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
УРОВНИ ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТА – У₅

Всеобщие формы существования материи определяются понятиями пространства и времени.

Основные свойства материи являются общесистемными: материя несотворима, неуничтожима, вечна и бесконечна.

На уровне описания объекта системой высказываний, пра­вильность которых проверяется историческим опытом людей, ма­терия наделяется следующими свойствами:

1. Это философская категория для обозначения объек­тивной реальности.

2. Основа (субстрат) всех реально существующих в мире свойств, связей и форм движения (всех процессов и явлений).

3. Бесконечное множество всех объектов и систем.

4. Субстанция (сущность), нечто относительно устойчи­вое, существующее само по себе, не зависит ни от чего друго­го.

Итак, объект является частью материального мира, выде­ленного субъектом для наблюдений. Объект участвует в общем движении, расположен в пространстве и проявляет себя во времени.

Движение характерно для объекта и как изменение его внутреннего состояния в пространстве параметров, так и отно­сительно других объектов в метрических пространствах.

На топологических уровнях описания пространство рас­сматривается в свою очередь как система, наделенная опреде­ленными математическими свойствами. Вводятся пространст­венно-подобные отношения: метрика объекта, расстояние меж­ду объектами и между состояниями объекта, системы коор­динат, нормированные пространства.

Объектами математических пространств являются точки, линии, плоскости, поверхности, вектора, числа и их комплек­сы.

Итак, описание системы на топологическом уровне кон­кретизируется по отношениям меры, т.е. вводятся пространст­венно-подобные отношения.