ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВЕННО -ПОДОБНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Основные системные свойства пространства:

1) структурность, т.е. единство прерывности и непрерыв­ности;

2) протяженность;

3) неразрывность от движения;

4) неотделимость от материи и времени;

5) количественная и качественная бесконечность.

Пространство " П" определяется как система в виде мате­матической структуры:

-постулируются свойства пространства;

-определяются элементы пространства на теоретико-множественном уровне;

-вводится система отношений: Р º П = (М, R₁, R₂;...) Û (А; R),

где П или Р - знак пространства;

М - множество элементов пространства;

R = {R_i} - множество отношений между элементами.

Примеры математических пространств: евклидово, пара­метрическое, векторное (гильбертово).

Гильбертово пространство обобщает свойства евклидова пространства на бесконечно - мерный случай.

Пример 1. Евклидово пространство

М = {(х; у; z)}; - координаты точки (объекта),

R₁ = - расстояние меж­ду объектами.

Пример 2. Векторное пространство

M = { }; Î N³ = N*N*N; = (х, у, z);

- вектор из точки (0, 0, 0) в точку (х, у, z);

R₁ = = - длина вектора;

R₂ = = - длина суммарного вектора;

R₃ = = - длина вектора разности 2-х векторов;

R₄ = ab = cos(a, b) =х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂ - векторное произведение;

R₅ Û cos(a, b) = = ;

R₆ Û {орты} = {i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1)};

R₇ Û а = (х, у, z) = xi + уj + zk.

П = ({х, у, z}; R₁; R₂; R₃;...; R₇;...).

Отметим примеры специальных типов пространств: функ­циональные пространства и пространства нечисловой природы. Например, трехцветное векторное пространство, применяемое в цветном телевидении, многоцветные психологические тесты (тест Люшера), пространство переменных состояний, пространство толерантности…

3.1.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО)

Для метрического пространства вводятся свойства мет­рики в виде системы аксиом (b):

1. b(x, у) ³ 0; b(x, x) = b(y, у) = 0.

2. b(x, у) = b(y, x) - симметричность.

3. b(x, у) £ b(y, x) + b(y, z) - свойство треугольника.

П = (М; b); х, у Î М, b Î R.

Частные случаи отношений для метрических пространств:

b₁(x, у) = - расстояние в n-мерном пространстве.

b₂(x, у) = - расстояние по сумме разностей координат.

b₃ = mах - максимальное расстояние между грани­цами пространства, используется для перехода к нормированным метрическим пространствам.