Производим подбор сечения

Подбор сечений при поперечном изгибе производится из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям для опасного сечения.

Рисунок 4.13

Отсюда

По ГОСТ 8240-89 подбираем двутавр №20 h = 20 см, b = 10 см, d = 0, 52 см,

t = 0, 84 см, = 1840 см⁴, = 184 см³, = 104, 0 см³,

Проводим проверку прочности:

а) по максимальным нормальным напряжениям для сечения с максимальным изгибающим моментом.

Перегрузка составляет что меньше

б) по максимальным касательным напряжениям для сечения с максимальной поперечной силой. Условие прочности по касательным напряжениям

Тогда, что меньше

в) по III теории прочности условие прочности

Для точки 1.

, что на 1, 8 % больше . Это меньше +5 %

 

Для точки 2.

Касательные напряжения определяются по формуле

где - статический момент отсечённой части сечения выше слоя точки 2 относительно оси х;

- площадь отсечённой части полки сечения лежащей выше слоя точки 2;

- координата центра тяжести отсечённой части сечения полки относительно оси х сечения.

Определяем напряжения для слоя точки 2 при

Определяем напряжения для слоя точки 2 при

Определяем эквивалентное напряжение для точки 2

, что меньше

МПа на 1, 74%

Для точки 3.

, что меньше на 59, 25 %.

Таким образом, условия прочности для всех точек выполняются. Величины напряжений и вид напряжённого состояния показаны на эпюрах напряжений, в соответствии с рисунком 4.13.

 

Пример 15 Для заданной балки из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры прямоугольного, круглого и кольцевого сечений при и и подобрать сечение двутавра. Материал сталь марки Ст.3, . Рисунок 4.14. Определить коэффициенты металлоемкости подобранных сечений.

 

Рисунок 4.14

 

Ход решения

1. Определяем реакции опор

Отсюда

кН

Отсюда

кН

 

Проверка .

2. Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента

Для участка АВ уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы

Для участка ВС

- уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы Определяем экстремальное значение изгибающего момента

Отсюда

Тогда .

Определяем выпуклость эпюры изгибающего момента

- выпуклость эпюры вверх

Для участка DC

- уравнение прямой

По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента по всем участкам балки.

3. Определяем опасное сечение. Опасным по максимальным нормальным напряжениям является сечение при с . Максимальное значение поперечной силы в сечении А с .

4. Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям определяем размеры прямоугольного сечения при .

Отсюда

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения . Отсюда см. Принимаем см

Тогда см ², см ²

Определяем напряжения и строим их эпюры, в соответствии с рисунком 4.15 а.

МПа на 0, 375 %

МПа

Определяем коэффициент металлоемкости

3. Определяем диаметр круглого сечения

Осевой момент сопротивления круглого сечения . Отсюда см. Принимаем см.

Тогда см ³ см ²

Определяем напряжения и строим их эпюры, в соответствии с рисунком 4.15 б.

МПа на 0, 5 %

МПа

Определяем коэффициент металлоемкости

 

4. Определяем размеры кольцевого сечения.

Осевой момент сопротивления кольцевого сечения

Отсюда см

 

 

Рисунок 4.15

Принимаем см.

Тогда см ³

см ²

Определяем напряжения и строим их эпюры, в соответствии с рисунком 4.15 в

МПа на 0, 18 %

МПа

Определяем коэффициент металлоемкости

5. Подбираем сечение двутавра. По сортаменту подбирается двутавр №24 см, см, см, , см ²,

см ⁴, см ³, см ³.

Определяем напряжения и строим их эпюры, в соответствии с рисунком 4.15 г.

МПа на 1, 90 %

МПа

Определяем коэффициент металлоемкости

Таким образом, наиболее рациональным является сечение двутавра с наибольшим коэффициентом металлоемкости .

Вопросы и ответы для самоконтроля

1. Какое состояние стержня называется чистым изгибом?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только изгибающий момент или , называется чистым изгибом.

2. Какое состояние стержня называется поперечным изгибом?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечная сила и изгибающий момент , называется поперечным изгибом.

3. Какая линия называется упругой линией балки?

Изогнутая ось балки называется упругой линией балки.

4. Какой слой сечения называется нейтральным?

Слой поперечного сечения балки, в котором нормальные напряжения и деформации растяжения-сжатия равны нулю, называется нейтральным.

5. Формула для определения нормальных напряжений в любой точке сечения. . Нормальное напряжение в любой точке сечения прямо пропорционально изгибающему моменту и ее расстоянию до нейтрального слоя и обратно пропорционально осевому моменту инерции сечения относительно оси х.

6. Формула для определения максимального нормального напряжения.

. Максимальное нормальное напряжение прямо пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально осевому моменту сопротивления сечения относительно оси .

7. Закон распределения нормальных напряжений при изгибе.

Нормальные напряжения при изгибе распределяются по высоте сечения по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в наиболее удельных точках поверхностных слоев сечения.

8. Формула для определения кривизны изогнутой оси балки.

. Кривизна изогнутой оси балки прямо пропорциональна уравнению изгибающего момента в сечениях балки.

9. Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе.

. Максимальное нормальное напряжение, прямо пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально осевому моменту сопротивления, не должно превышать величины допускаемого нормального напряжения.

10. Решение задач на основе условия прочности

Проектировочная задача определения размеров сечения

Проверочная задача определения допускаемого изгибающего момента .

Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности , .

11.Формула для определения касательных напряжений при поперечном изгибе.

 

 

. Касательные напряжения прямо пропорциональны

поперечной силе и статическому моменту отсеченной части сечения относительно центральной оси , и обратно пропорциональны ширине исследуемого слоя и осевому моменту инерции сечения относительно центральной оси .

12. Закон распределения касательных напряжений.

Касательные напряжения по высоте прямоугольного, круглого сечений и сечений типа двутавр, швеллер распределяются по закону квадратной параболы от нуля в точках поверхностных слоев до максимального значения в точках нейтрального слоя.

13. Где в сечении касательные напряжения изменяются скачкообразно?

Касательные напряжения изменяются скачкообразно при уменьшении или увеличении ширины сечения.

14. Условие прочности по касательным напряжениям

. Максимальное касательное напряжение, прямо пропорционально поперечной силе и статическому моменту полусечения относительно центральной оси , и обратно пропорционально ширине нейтрального слоя и осевому моменту инерции сечения относительно оси и не должно превышать допускаемого касательного напряжения.

15. Что показывает осевой момент сопротивления?

Осевой момент сопротивления сечения показывает способность поверхностных точек сечения сопротивляться деформациям растяжения- сжатия при изгибе.

16. Что показывает жесткость балки при изгибе?

Жесткость балки при изгибе показывает способность сечения сопротивляться деформациям растяжения-сжатия при изгибе.

17.Какое напряженное состояние испытывает материал в сечениях балок при чистом изгибе?

Материал во всех точках поперечных сечений балок, испытывает линейное напряженное состояние.

18. Какое напряженное состояние испытывает материал в сечениях балок при поперечном изгибе?

Материал во всех точках поперечных сечений балок кроме точек наиболее удаленных поверхностных и нейтральных слоев, испытывает плоское напряженное состояние.

19. Как записываются условия прочности по эквивалентным напряжениям.

,

 

 

Таблица основных формул для простых состояний стержней

 

Состояние стержня	Отно ситель-ная деформация	Закон Гука и распределение напряжений	Условие прочности	Условие жесткости
Растяжение-сжатие
Сдвиг
Кручение
Чтстый поперечный изгиб